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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Problema
2020 · Extraordinaria · Titular
2-b
Examen

Una espira cuadrada de 4 cm4 \text{ cm} de lado, situada inicialmente en el plano XYXY, está inmersa en un campo magnético uniforme de 3 T3 \text{ T}, dirigido en el sentido positivo del eje XX. La espira gira con una velocidad angular 100 rad s−1100 \text{ rad s}^{-1} en torno al eje YY.

b) Calcule razonadamente, apoyándose en un esquema: i) El flujo magnético en función del tiempo. ii) La fuerza electromotriz inducida en función del tiempo.
Flujo magnéticoFuerza electromotrizLey de Faraday+1
b) i) El flujo magnético en función del tiempo.

El lado de la espira cuadrada es L=4 cm=0.04 mL = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}. Por lo tanto, el área de la espira es:

A=L2=(0.04 m)2=0.0016 m2A = L^2 = (0.04 \text{ m})^2 = 0.0016 \text{ m}^2

El campo magnético es uniforme, B=3 TB = 3 \text{ T}, y está dirigido en el sentido positivo del eje XX. La espira gira en torno al eje YY con una velocidad angular ω=100 rad s−1\omega = 100 \text{ rad s}^{-1}. Inicialmente, la espira está en el plano XYXY. Esto implica que el vector normal a la espira (vector área A⃗\vec{A}) apunta inicialmente en la dirección del eje ZZ. El campo magnético B⃗\vec{B} apunta en la dirección del eje XX. Por lo tanto, el ángulo inicial entre el vector normal A⃗\vec{A} y el vector campo magnético B⃗\vec{B} es de 90∘90^\circ o π/2\pi/2 radianes. Así, el ángulo θ(t)\theta(t) entre A⃗\vec{A} y B⃗\vec{B} en función del tiempo es:

θ(t)=ωt+θ0=ωt+π2\theta(t) = \omega t + \theta_0 = \omega t + \frac{\pi}{2}

La fórmula general para el flujo magnético a través de una espira es:

ΦB(t)=B⃗⋅A⃗=BAcos⁡(θ(t))\Phi_B(t) = \vec{B} \cdot \vec{A} = B A \cos(\theta(t))

Sustituyendo la expresión para θ(t)\theta(t):

ΦB(t)=BAcos⁡(ωt+π2)\Phi_B(t) = B A \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)

Utilizando la identidad trigonométrica cos⁡(x+π2)=−sin⁡(x)\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x):

ΦB(t)=−BAsin⁡(ωt)\Phi_B(t) = -B A \sin(\omega t)

Ahora sustituimos los valores numéricos:

ΦB(t)=−(3 T)⋅(0.0016 m2)sin⁡(100 rad s−1⋅t)\Phi_B(t) = -(3 \text{ T}) \cdot (0.0016 \text{ m}^2) \sin(100 \text{ rad s}^{-1} \cdot t)
ΦB(t)=−0.0048sin⁡(100t) Wb\Phi_B(t) = -0.0048 \sin(100 t) \text{ Wb}
b) ii) La fuerza electromotriz inducida en función del tiempo.

Según la Ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz (FEM) inducida se calcula como la derivada temporal negativa del flujo magnético:

E(t)=−dΦBdt\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi_B}{dt}

Sustituyendo la expresión obtenida para el flujo magnético:

E(t)=−ddt(−BAsin⁡(ωt))\mathcal{E}(t) = -\frac{d}{dt} (-B A \sin(\omega t))
E(t)=BAddt(sin⁡(ωt))\mathcal{E}(t) = B A \frac{d}{dt} (\sin(\omega t))
E(t)=BAωcos⁡(ωt)\mathcal{E}(t) = B A \omega \cos(\omega t)

Sustituimos los valores numéricos:

E(t)=(3 T)⋅(0.0016 m2)⋅(100 rad s−1)cos⁡(100 rad s−1⋅t)\mathcal{E}(t) = (3 \text{ T}) \cdot (0.0016 \text{ m}^2) \cdot (100 \text{ rad s}^{-1}) \cos(100 \text{ rad s}^{-1} \cdot t)
E(t)=(0.0048 Wb)⋅(100 rad s−1)cos⁡(100t)\mathcal{E}(t) = (0.0048 \text{ Wb}) \cdot (100 \text{ rad s}^{-1}) \cos(100 t)
E(t)=0.48cos⁡(100t) V\mathcal{E}(t) = 0.48 \cos(100 t) \text{ V}