T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Teoría

2021 · Ordinaria · Suplente

D.1-a

a) Un mesón

\pi

tiene una masa

275

veces mayor que la de un electrón. i) ¿Qué relación existe entre las longitudes de onda de De Broglie del mesón y el electrón si ambos se mueven con la misma velocidad? ii) ¿Y si se mueven de modo que poseen la misma energía cinética? Razone sus respuestas.

Hipótesis de De BroglieLongitud de onda

a) La longitud de onda de De Broglie

(\lambda)

se relaciona con el momento lineal

(p)

y la masa

(m)

de una partícula mediante la expresión:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}

donde $h$ es la constante de Planck, $m$ es la masa de la partícula y $v$ es su velocidad. Se nos da la relación entre las masas del mesón $\pi$ ( $m_\pi$ ) y el electrón ( $m_e$ ): $m_\pi = 275 m_e$ .

i) Si ambos se mueven con la misma velocidad (

v_\pi = v_e = v

La longitud de onda de De Broglie para el mesón $\pi$ es:

\lambda_\pi = \frac{h}{m_\pi v}

Y para el electrón es:

\lambda_e = \frac{h}{m_e v}

La relación entre sus longitudes de onda será:

\frac{\lambda_\pi}{\lambda_e} = \frac{h/(m_\pi v)}{h/(m_e v)} = \frac{m_e}{m_\pi}

Sustituyendo la relación de masas $m_\pi = 275 m_e$ :

\frac{\lambda_\pi}{\lambda_e} = \frac{m_e}{275 m_e} = \frac{1}{275}

Por lo tanto, $\lambda_\pi = \frac{1}{275} \lambda_e$ . La longitud de onda de De Broglie del mesón es 275 veces menor que la del electrón. Esto se debe a que, al tener la misma velocidad, el momento lineal de la partícula es directamente proporcional a su masa. Una masa mayor implica un momento lineal mayor y, consecuentemente, una longitud de onda de De Broglie menor.

ii) Si se mueven de modo que poseen la misma energía cinética (

E_{c,\pi} = E_{c,e} = E_c

La energía cinética $E_c$ se define como $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ . Podemos expresar el momento lineal $p$ en función de la energía cinética. Sabemos que $p=mv$ , entonces $p^2 = m^2v^2 = 2m \left(\frac{1}{2}mv^2\right) = 2mE_c$ . Por lo tanto, $p = \sqrt{2mE_c}$ .Así, la longitud de onda de De Broglie puede escribirse como:

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_c}}

Para el mesón $\pi$ :

\lambda_\pi = \frac{h}{\sqrt{2m_\pi E_c}}

Y para el electrón:

\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m_e E_c}}

La relación entre sus longitudes de onda será:

\frac{\lambda_\pi}{\lambda_e} = \frac{h/\sqrt{2m_\pi E_c}}{h/\sqrt{2m_e E_c}} = \sqrt{\frac{2m_e E_c}{2m_\pi E_c}} = \sqrt{\frac{m_e}{m_\pi}}

Sustituyendo la relación de masas $m_\pi = 275 m_e$ :

\frac{\lambda_\pi}{\lambda_e} = \sqrt{\frac{m_e}{275 m_e}} = \sqrt{\frac{1}{275}} = \frac{1}{\sqrt{275}}

Calculando el valor de $\sqrt{275} \approx 16.58$ :

\frac{\lambda_\pi}{\lambda_e} \approx \frac{1}{16.58}

Por lo tanto, $\lambda_\pi \approx \frac{1}{16.58} \lambda_e$ . La longitud de onda de De Broglie del mesón es aproximadamente 16.58 veces menor que la del electrón. En este caso, al tener la misma energía cinética, el momento lineal es proporcional a la raíz cuadrada de la masa. Una masa mayor sigue implicando un momento lineal mayor y una longitud de onda menor, pero la dependencia es menos pronunciada que en el caso de velocidad constante.