T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andalucía 2022

Ondas armónicas

Problema

2022 · Ordinaria · Titular

C1-b

Una onda armónica transversal se propaga en sentido negativo del eje $OX$ con una velocidad de propagación de $3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ . Si su longitud de onda es de $1,5\text{ m}$ y su amplitud es de $2\text{ m}$ :

b) i) escriba la ecuación de la onda teniendo en cuenta que en el punto

x = 0\text{ m}

y en el instante

t = 0\text{ s}

la perturbación es nula y la velocidad de oscilación es positiva.ii) Determine la velocidad máxima de oscilación de un punto cualquiera del medio.

Ecuación de ondaVelocidad de propagaciónVelocidad de oscilación

b) i) Para escribir la ecuación de la onda, utilizaremos la forma general para una onda armónica transversal que se propaga en el sentido negativo del eje

OX

y(x,t) = A \sin(\omega t + kx + \phi_0)

. Primero, calculamos la frecuencia angular (

\omega

) y el número de onda (

k

) a partir de los datos proporcionados:

Datos:- Amplitud ( $A$ ): $2 \text{ m}$ - Velocidad de propagación ( $v$ ): $3 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ - Longitud de onda ( $\lambda$ ): $1,5 \text{ m}$

\omega = 2\pi f

v = \lambda f \Rightarrow f = \frac{v}{\lambda}

\omega = 2\pi \frac{v}{\lambda} = 2\pi \frac{3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}{1,5\text{ m}} = 2\pi (2\text{ s}^{-1}) = 4\pi \text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

k = \frac{2\pi}{\lambda}

k = \frac{2\pi}{1,5\text{ m}} = \frac{4\pi}{3} \text{ rad}\cdot\text{m}^{-1}

Ahora, la ecuación de la onda es $y(x,t) = 2 \sin(4\pi t + \frac{4\pi}{3} x + \phi_0)$ . Para determinar la fase inicial ( $\phi_0$ ), utilizamos las condiciones iniciales dadas: 1. En $x = 0\text{ m}$ y $t = 0\text{ s}$ , la perturbación es nula: $y(0,0) = 0\text{ m}$ .

y(0,0) = 2 \sin(4\pi (0) + \frac{4\pi}{3} (0) + \phi_0) = 2 \sin(\phi_0) = 0

Esto implica que $\sin(\phi_0) = 0$ , por lo tanto, $\phi_0$ puede ser $0$ o $\pi$ rad. 2. En $x = 0\text{ m}$ y $t = 0\text{ s}$ , la velocidad de oscilación es positiva. La velocidad de oscilación ( $v_y$ ) se obtiene derivando $y(x,t)$ con respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (A \sin(\omega t + kx + \phi_0)) = A\omega \cos(\omega t + kx + \phi_0)

Sustituyendo $A=2\text{ m}$ y $\omega=4\pi\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}$ :

v_y(x,t) = 2(4\pi) \cos(4\pi t + \frac{4\pi}{3} x + \phi_0) = 8\pi \cos(4\pi t + \frac{4\pi}{3} x + \phi_0)

Evaluamos $v_y(0,0)$ para los posibles valores de $\phi_0$ : - Si $\phi_0 = 0$ :

v_y(0,0) = 8\pi \cos(0 + 0 + 0) = 8\pi \cos(0) = 8\pi \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

Este valor es positivo, lo que cumple la condición. - Si $\phi_0 = \pi$ :

v_y(0,0) = 8\pi \cos(0 + 0 + \pi) = 8\pi \cos(\pi) = -8\pi \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

Este valor es negativo, lo que no cumple la condición. Por lo tanto, la fase inicial es $\phi_0 = 0\text{ rad}$ . La ecuación de la onda es:

y(x,t) = 2 \sin\left(4\pi t + \frac{4\pi}{3} x\right) \text{ (en unidades del SI)}

ii) La velocidad de oscilación de un punto cualquiera del medio viene dada por:

v_y(x,t) = A\omega \cos(\omega t + kx + \phi_0)

. La velocidad máxima de oscilación (

v_{y,max}

) ocurre cuando el término

\cos(\omega t + kx + \phi_0)

es igual a

1

-1

. Por lo tanto:

v_{y,max} = |A\omega|

Sustituyendo los valores de $A$ y $\omega$ :

v_{y,max} = |(2\text{ m})(4\pi\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1})| = 8\pi \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}