T1: Interacción gravitatoria

Energía

Problema

2021 · Ordinaria · Suplente

A.2-b

b) Un cuerpo de masa

1 \text{ kg}

desciende, partiendo del reposo, por un plano inclinado con rozamiento que forma

30^{\circ}

con la horizontal, desde una altura de

0,5 \text{ m}

. A continuación, desliza por una superficie horizontal con rozamiento hasta detenerse después de recorrer

3 \text{ m}

en la superficie horizontal. i) Realice un dibujo con las fuerzas que actúan sobre el cuerpo cuando desliza sobre el plano inclinado y sobre la superficie horizontal. ii) Utilizando consideraciones energéticas, determine el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y las superficies, considerando que es el mismo en el plano horizontal y en el plano inclinado.

Dato: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

Plano inclinadoRozamientoTrabajo y Energía

b) i) Dibujo con las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Fuerzas sobre el cuerpo cuando desliza sobre el plano inclinado:

Cuando el cuerpo desciende por el plano inclinado, actúan el peso ( $P$ ) dirigido verticalmente hacia abajo, la fuerza normal ( $N$ ) perpendicular al plano de contacto y la fuerza de rozamiento ( $fr$ ) que se opone al movimiento, actuando paralela al plano inclinado y hacia arriba. El peso se descompone en una componente paralela al plano ( $P_x$ ) y otra perpendicular ( $P_y$ ).Fuerzas sobre el cuerpo cuando desliza sobre la superficie horizontal:

Cuando el cuerpo desliza por la superficie horizontal, las fuerzas que actúan son el peso ( $P$ ) dirigido verticalmente hacia abajo, la fuerza normal ( $N$ ) perpendicular a la superficie (verticalmente hacia arriba) y la fuerza de rozamiento ( $fr$ ) que se opone al movimiento, actuando en sentido contrario al desplazamiento horizontal.

ii) Determinación del coeficiente de rozamiento utilizando consideraciones energéticas.

Aplicaremos el teorema de las fuerzas no conservativas, que establece que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (en este caso, la fuerza de rozamiento) es igual al cambio en la energía mecánica total del sistema entre el punto inicial y el punto final.

W_{nc} = \Delta E_m = E_{m,final} - E_{m,inicial}

Consideremos el estado inicial (A) en la parte superior del plano inclinado y el estado final (C) cuando el cuerpo se detiene en la superficie horizontal. Establecemos el nivel de energía potencial gravitatoria cero ( $U_g = 0$ ) en la superficie horizontal.Datos conocidos:

m = 1 \text{ kg}

\alpha = 30^\circ \quad\text{(ángulo del plano inclinado)}

h = 0,5 \text{ m} \quad\text{(altura inicial en el plano inclinado)}

d_{horizontal} = 3 \text{ m} \quad\text{(distancia recorrida en la superficie horizontal)}

g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

1. Energía mecánica inicial (Punto A): El cuerpo parte del reposo y está a una altura $h$ . Por lo tanto, su energía cinética es cero.

E_{m,A} = K_A + U_{g,A} = 0 + mgh

E_{m,A} = (1 \text{ kg})(9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2})(0,5 \text{ m}) = 4,9 \text{ J}

2. Energía mecánica final (Punto C): El cuerpo se detiene en la superficie horizontal, por lo que su energía cinética final es cero y su energía potencial gravitatoria también es cero (al ser el nivel de referencia).

E_{m,C} = K_C + U_{g,C} = 0 + 0 = 0

3. Trabajo total realizado por la fuerza de rozamiento ( $W_{fr,total}$ ): Es la suma del trabajo realizado por el rozamiento en el plano inclinado y en la superficie horizontal.

W_{fr,total} = W_{fr,inclinado} + W_{fr,horizontal}

a) En el plano inclinado:

La fuerza normal es: $N_{inclinado} = mg \cos(\alpha)

La fuerza de rozamiento es: $fr_{inclinado} = \mu N_{inclinado} = \mu mg \cos(\alpha)

La distancia recorrida en el plano inclinado es: $d_{inclinado} = \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{0,5 \text{ m}}{\sin(30^\circ)} = \frac{0,5 \text{ m}}{0,5} = 1 \text{ m}

El trabajo realizado por el rozamiento es negativo (se opone al movimiento): $W_{fr,inclinado} = -fr_{inclinado} \cdot d_{inclinado} = -\mu mg \cos(\alpha) \cdot \frac{h}{\sin(\alpha)} = -\mu mg h \cot(\alpha)

b) En la superficie horizontal:

La fuerza normal es: $N_{horizontal} = mg

La fuerza de rozamiento es: $fr_{horizontal} = \mu N_{horizontal} = \mu mg

El trabajo realizado por el rozamiento es negativo: $W_{fr,horizontal} = -fr_{horizontal} \cdot d_{horizontal} = -\mu mg d_{horizontal}

Ahora, aplicamos el teorema de las fuerzas no conservativas:

W_{fr,total} = E_{m,C} - E_{m,A}

-\mu mg h \cot(\alpha) - \mu mg d_{horizontal} = 0 - mgh

Dividimos toda la ecuación por $-mg$ (ya que $m$ y $g$ no son cero):

\mu h \cot(\alpha) + \mu d_{horizontal} = h

Factorizamos $\mu$ :

\mu (h \cot(\alpha) + d_{horizontal}) = h

Despejamos $\mu$ :

\mu = \frac{h}{h \cot(\alpha) + d_{horizontal}}

Sustituimos los valores numéricos:

\cot(30^\circ) = \frac{\cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \approx 1,732

\mu = \frac{0,5 \text{ m}}{(0,5 \text{ m})(1,732) + 3 \text{ m}}

\mu = \frac{0,5 \text{ m}}{0,866 \text{ m} + 3 \text{ m}}

\mu = \frac{0,5 \text{ m}}{3,866 \text{ m}}

\mu \approx 0,1293

El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y las superficies es aproximadamente $0,13$ .