T1: Interacción gravitatoria

Trabajo y energía

Problema

2026 · Ordinaria · Titular

A-b

b) Un niño de 15 kg resbala desde el reposo a lo largo de un tobogán de 2 m de altura cuya inclinación con respecto a la horizontal es de 30º. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico es 0.25: i) realice un esquema con las fuerzas que actúan sobre el niño y determine el trabajo de la fuerza de rozamiento. ii) Calcule la energía cinética del niño al final del tobogán y la velocidad con la que llega. Responda razonadamente.$g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

TrabajoEnergía cinéticaRozamiento

b) Tobogán con rozamiento: fuerzas, trabajo de rozamiento, energía cinética y velocidad final.

Datos del problema:Masa del niño: $m = 15$ kg, altura del tobogán: $h = 2$ m, ángulo de inclinación: $\alpha = 30^\circ$ , coeficiente de rozamiento dinámico: $\mu_d = 0{,}25$ , $g = 9{,}8$ m/s².Longitud del tobogán (plano inclinado):

L = \frac{h}{\sin\alpha} = \frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{0{,}5} = 4 \text{ m}

i) Esquema de fuerzas y trabajo de la fuerza de rozamiento.

Las fuerzas que actúan sobre el niño son:

· Peso

P = mg

, descompuesto en componente paralela al plano

P_\parallel = mg\sin\alpha

(hacia abajo del plano) y componente perpendicular

P_\perp = mg\cos\alpha

(hacia el plano).· Normal

N

, perpendicular al plano y opuesta a

P_\perp

.· Fuerza de rozamiento

f_r

, paralela al plano y opuesta al movimiento (hacia arriba del plano).

Equilibrio en la dirección perpendicular al plano:

N = mg\cos\alpha = 15 \times 9{,}8 \times \cos 30^\circ = 147 \times 0{,}866 = 127{,}3 \text{ N}

Fuerza de rozamiento:

f_r = \mu_d \cdot N = 0{,}25 \times 127{,}3 = 31{,}8 \text{ N}

Trabajo de la fuerza de rozamiento (la fuerza es opuesta al desplazamiento, por lo que el trabajo es negativo):

W_{f_r} = -f_r \cdot L = -31{,}8 \times 4 = -127{,}3 \text{ J}

ii) Energía cinética al final del tobogán y velocidad de llegada.

Aplicamos el teorema trabajo-energía (o principio de conservación de la energía con rozamiento). El niño parte del reposo ( $E_{k0} = 0$ ), por lo que:

E_{k} = E_{p} + W_{f_r}

donde $E_p = mgh$ es la energía potencial gravitatoria que se convierte en cinética y trabajo (parte se disipa por rozamiento).Energía potencial inicial:

E_p = mgh = 15 \times 9{,}8 \times 2 = 294 \text{ J}

Energía cinética al llegar al final del tobogán:

E_k = E_p + W_{f_r} = 294 + (-127{,}3) = 166{,}7 \text{ J}

Velocidad al llegar al final del tobogán, a partir de $E_k = \dfrac{1}{2}mv^2$ :

v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 166{,}7}{15}} = \sqrt{22{,}23} \approx 4{,}7 \text{ m/s}

Razonamiento: La energía cinética final es menor que la energía potencial inicial porque la fuerza de rozamiento realiza trabajo negativo (disipa energía en forma de calor). Si no hubiera rozamiento, toda la energía potencial se convertiría en cinética ( $E_k = 294$ J, $v \approx 6{,}3$ m/s). El rozamiento reduce la velocidad de llegada a aproximadamente $4{,}7$ m/s.