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T2: Sistemas de ecuaciones lineales
Discusión de sistemas con parámetros
Problema
2020 · Extraordinaria · Titular
3
Examen

Considera el sistema de ecuaciones dado por AX=BAX = B siendo

A=(1−21m4−20m+2−3),X=(xyz) y B=(22m1)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ m & 4 & -2 \\ 0 & m + 2 & -3 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 2 \\ 2m \\ 1 \end{pmatrix}
a) Discute el sistema según los valores de mm.b) Para m=−2m = -2, ¿existe alguna solución con z=0z = 0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.
Teorema de Rouché-FrobeniusMatrices
a) Discusión del sistema según los valores de mm.

Primero, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes AA:

det⁡(A)=∣1−21m4−20m+2−3∣\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ m & 4 & -2 \\ 0 & m + 2 & -3 \end{vmatrix}
det⁡(A)=1⋅(4(−3)−(−2)(m+2))−(−2)⋅(m(−3)−(−2)(0))+1⋅(m(m+2)−4(0))\det(A) = 1 \cdot (4(-3) - (-2)(m+2)) - (-2) \cdot (m(-3) - (-2)(0)) + 1 \cdot (m(m+2) - 4(0))
det⁡(A)=(−12+2m+4)+2(−3m)+(m2+2m)\det(A) = (-12 + 2m + 4) + 2(-3m) + (m^2 + 2m)
det⁡(A)=2m−8−6m+m2+2m\det(A) = 2m - 8 - 6m + m^2 + 2m
det⁡(A)=m2−2m−8\det(A) = m^2 - 2m - 8

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de mm donde el rango de AA podría ser menor que 3:

m2−2m−8=0m^2 - 2m - 8 = 0
m=−(−2)±(−2)2−4(1)(−8)2(1)=2±4+322=2±362=2±62m = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}
m1=2+62=4m_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4
m2=2−62=−2m_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2

Ahora analizamos los diferentes casos:Caso 1: m≠4m \neq 4 y m≠−2m \neq -2 En este caso, det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, por lo tanto, el rango de AA es rg(A)=3\text{rg}(A) = 3. Como el número de incógnitas es 3, el rango de la matriz ampliada A′A' también será 3. Por el Teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado (SCD), es decir, tiene una única solución.Caso 2: m=4m = 4 Sustituimos m=4m = 4 en las matrices AA y A′A':

A=(1−2144−206−3),A′=(1−21∣244−2∣806−3∣1)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 4 & 4 & -2 \\ 0 & 6 & -3 \end{pmatrix}, \quad A' = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 2 \\ 4 & 4 & -2 & | & 8 \\ 0 & 6 & -3 & | & 1 \end{pmatrix}

Para m=4m=4, det⁡(A)=0\det(A) = 0, así que rg(A)<3\text{rg}(A) < 3. Consideramos el menor de orden 2:

∣1−244∣=4−(−8)=12≠0\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 4 \end{vmatrix} = 4 - (-8) = 12 \neq 0

Por lo tanto, rg(A)=2\text{rg}(A) = 2. Ahora calculamos el rango de A′A'. Consideramos el menor de orden 3 formado por las columnas 1, 2 y 4 de A′A':

∣1−22448061∣=1(4−48)−(−2)(4−0)+2(24−0)=−44+8+48=12≠0\begin{vmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 4 & 4 & 8 \\ 0 & 6 & 1 \end{vmatrix} = 1(4 - 48) - (-2)(4 - 0) + 2(24 - 0) = -44 + 8 + 48 = 12 \neq 0

Como existe un menor de orden 3 no nulo en A′A', rg(A′)=3\text{rg}(A') = 3. Dado que rg(A)=2≠rg(A′)=3\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A') = 3, el sistema es incompatible (SI), es decir, no tiene solución.Caso 3: m=−2m = -2 Sustituimos m=−2m = -2 en las matrices AA y A′A':

A=(1−21−24−200−3),A′=(1−21∣2−24−2∣−400−3∣1)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}, \quad A' = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 2 \\ -2 & 4 & -2 & | & -4 \\ 0 & 0 & -3 & | & 1 \end{pmatrix}

Para m=−2m=-2, det⁡(A)=0\det(A) = 0, así que rg(A)<3\text{rg}(A) < 3. Consideramos el menor de orden 2:

∣110−3∣=−3≠0\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = -3 \neq 0

Por lo tanto, rg(A)=2\text{rg}(A) = 2. Ahora analizamos el rango de A′A'. Observamos que la segunda fila de A′A' es −2-2 veces la primera fila: (−2,4,−2,−4)=−2(1,−2,1,2)(-2, 4, -2, -4) = -2(1, -2, 1, 2). Esto significa que la segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera.Las ecuaciones independientes del sistema son:

{x−2y+z=2−3z=1\begin{cases} x - 2y + z = 2 \\ -3z = 1 \end{cases}

El rango de la matriz ampliada A′A' también es 2. Dado que rg(A)=2\text{rg}(A) = 2 y rg(A′)=2\text{rg}(A') = 2, y el número de incógnitas es 3, tenemos rg(A)=rg(A′)=2<3\text{rg}(A) = \text{rg}(A') = 2 < 3. Por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado (SCI), es decir, tiene infinitas soluciones.

b) Para m=−2m = -2, ¿existe alguna solución con z=0z = 0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Para m=−2m = -2, el sistema de ecuaciones se reduce a:

{x−2y+z=2−3z=1\begin{cases} x - 2y + z = 2 \\ -3z = 1 \end{cases}

Si intentamos encontrar una solución con z=0z = 0, sustituimos este valor en las ecuaciones:

{x−2y+0=2−3(0)=1\begin{cases} x - 2y + 0 = 2 \\ -3(0) = 1 \end{cases}
{x−2y=20=1\begin{cases} x - 2y = 2 \\ 0 = 1 \end{cases}

La segunda ecuación, 0=10 = 1, es una contradicción. Esto significa que no existe ninguna solución para el sistema con z=0z = 0 cuando m=−2m = -2.