T1: Interacción gravitatoria

Órbitas circulares

Teoría

2022 · Ordinaria · Suplente

A1-a

a) Dos satélites artificiales describen órbitas circulares alrededor de un planeta de masa

M

de forma que el radio de la órbita del primer satélite es cuatro veces mayor que el radio de la órbita del segundo. Responda razonadamente: i) ¿Qué relación existe entre las velocidades orbitales de ambos satélites? ii) ¿Qué relación existe entre sus períodos orbitales?

Velocidad orbitalPeriodo orbitalLeyes de Kepler

a) i) Relación entre las velocidades orbitales de ambos satélites.

Para que un satélite describa una órbita circular estable alrededor de un planeta, la fuerza de atracción gravitatoria entre el planeta y el satélite debe ser igual a la fuerza centrípeta necesaria para mantener al satélite en su órbita.

F_g = G \frac{M m}{r^2}

F_c = \frac{m v^2}{r}

Igualando ambas fuerzas:

G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

De esta expresión, podemos despejar la velocidad orbital $v$ :

v = \sqrt{\frac{G M}{r}}

Donde $G$ es la constante de gravitación universal, $M$ es la masa del planeta y $r$ es el radio de la órbita. Para los dos satélites, sus velocidades orbitales serán:

\begin{gathered} v_1 = \sqrt{\frac{G M}{r_1}} \\ v_2 = \sqrt{\frac{G M}{r_2}} \end{gathered}

El enunciado establece que el radio de la órbita del primer satélite es cuatro veces mayor que el radio de la órbita del segundo, es decir:

r_1 = 4r_2

Ahora, podemos establecer la relación entre las velocidades orbitales:

\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{G M}{r_1}}}{\sqrt{\frac{G M}{r_2}}} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}

Sustituyendo $r_1 = 4r_2$ :

\begin{gathered} \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{4r_2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \\ v_1 = \frac{1}{2} v_2 \end{gathered}

La velocidad orbital del primer satélite es la mitad que la del segundo.

a) ii) Relación entre sus períodos orbitales.

El período orbital $T$ es el tiempo que tarda un satélite en completar una órbita. Se relaciona con la velocidad orbital $v$ y el radio de la órbita $r$ mediante la expresión:

v = \frac{2 \pi r}{T}

Despejando el período $T$ :

T = \frac{2 \pi r}{v}

Sustituyendo la expresión de la velocidad orbital $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$ en la ecuación del período:

T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{G M}{r}}} = 2 \pi r \sqrt{\frac{r}{G M}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}

Esta es la tercera Ley de Kepler. Para los dos satélites, sus períodos orbitales serán:

\begin{gathered} T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{r_1^3}{G M}} \\ T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{r_2^3}{G M}} \end{gathered}

Ahora, podemos establecer la relación entre los períodos orbitales:

\frac{T_1}{T_2} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{r_1^3}{G M}}}{2 \pi \sqrt{\frac{r_2^3}{G M}}} = \sqrt{\frac{r_1^3}{r_2^3}} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2}

Sustituyendo $r_1 = 4r_2$ :

\begin{gathered} \frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{4r_2}{r_2}\right)^{3/2} = (4)^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8 \\ T_1 = 8 T_2 \end{gathered}

El período orbital del primer satélite es ocho veces mayor que el del segundo.