T1: Matrices y determinantes · Operaciones con matrices e inversa — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Operaciones con matrices e inversa

Problema

2020 · Ordinaria · Reserva

EJERCICIO 2

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ k & -3 & 2 \\ 1 & k & 1 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

a) Razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante:

B^t \cdot A \quad C \cdot B \quad B \cdot A + B \quad B^2

b) Calcule los valores del parámetro

k

para los que la matriz

A

es invertible.c) Para

k = -1

, calcule la inversa de la matriz

A

MatricesInversa de una matrizDeterminantes

Resolución del Ejercicio de Matrices

a) Razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante:

Para que el producto de dos matrices sea posible, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Para la suma, ambas matrices deben tener la misma dimensión. Las dimensiones dadas son: $A$ de $3 \times 3$ , $B$ de $2 \times 3$ y $C$ de $2 \times 2$ .1. $B^t \cdot A$ : La matriz transpuesta $B^t$ tiene dimensión $3 \times 2$ y $A$ tiene $3 \times 3$ . Como el número de columnas de $B^t$ (2) no coincide con el número de filas de $A$ (3), la operación no es posible.2. $C \cdot B$ : La matriz $C$ tiene dimensión $2 \times 2$ y $B$ tiene $2 \times 3$ . Como el número de columnas de $C$ (2) coincide con el número de filas de $B$ (2), la operación es posible. La dimensión resultante es $2 \times 3$ .3. $B \cdot A + B$ : Primero, el producto $B \cdot A$ es de $(2 \times 3) \cdot (3 \times 3)$ , lo que resulta en una matriz de $2 \times 3$ . Como $B$ también es $2 \times 3$ , se pueden sumar. La operación es posible y la dimensión resultante es $2 \times 3$ .4. $B^2$ : Esta operación equivale a $B \cdot B$ . Como $B$ tiene dimensión $2 \times 3$ , el número de columnas (3) no coincide con el número de filas (2). Por tanto, la operación no es posible.

b) Calcule los valores del parámetro

k

para los que la matriz

A

es invertible.

Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ k & -3 & 2 \\ 1 & k & 1 \end{vmatrix} = (-3 + 0 + k^2) - (-3 + 2k + 0)

|A| = k^2 - 3 + 3 - 2k = k^2 - 2k

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores no válidos:

k^2 - 2k = 0 \implies k(k - 2) = 0 \implies k = 0, \, k = 2

Por lo tanto, la matriz $A$ es invertible para cualquier valor de $k$ perteneciente a los números reales excepto $0$ y $2$ :

k \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}

c) Para

k = -1

, calcule la inversa de la matriz

A

Si $k = -1$ , el determinante es $|A| = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$ . La matriz es:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$ :

\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & -3 & -3 \end{pmatrix}

Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta $(\text{Adj}(A))^t$ :

(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & -3 \\ 4 & 1 & -3 \end{pmatrix}

Finalmente, aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^t$ :

A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & -3 \\ 4 & 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 & -1/3 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 4/3 & 1/3 & -1 \end{pmatrix}