T2: Interacción electromagnética

Inducción

Teoría

2021 · Ordinaria · Suplente

B.2-a

a) Una espira circular gira en torno a uno de sus diámetros en un campo magnético uniforme y constante. Explique, con ayuda de un esquema y de las expresiones que precise, si se induce fuerza electromotriz en la espira cuando: i) El campo magnético es paralelo al eje de rotación. ii) El campo magnético es perpendicular al eje de rotación.

Ley de FaradayFlujo magnéticoFuerza electromotriz

a) Para analizar si se induce fuerza electromotriz (FEM) en una espira, debemos recurrir a la Ley de Inducción de Faraday, que establece que la FEM inducida es proporcional a la tasa de cambio del flujo magnético (

\Phi_B

) a través de la espira. La expresión matemática es:

\mathcal{E} = - \frac{d\Phi_B}{dt}

El flujo magnético a través de una espira de área $A$ en un campo magnético uniforme $\vec{B}$ se define como:

\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos\theta

donde $\theta$ es el ángulo entre el vector de campo magnético $\vec{B}$ y el vector de área $\vec{A}$ (el cual es perpendicular al plano de la espira y tiene una magnitud igual al área $A$ ). Dado que la espira gira, el ángulo $\theta$ cambia con el tiempo.

i) El campo magnético es paralelo al eje de rotación.

La espira gira en torno a uno de sus diámetros. Esto implica que el eje de rotación está contenido en el plano de la espira. El vector de área $\vec{A}$ de la espira es siempre perpendicular a su plano. Por lo tanto, $\vec{A}$ es siempre perpendicular al eje de rotación.Si el campo magnético $\vec{B}$ es paralelo al eje de rotación, entonces $\vec{B}$ será siempre perpendicular al vector de área $\vec{A}$ . En este caso, el ángulo $\theta$ entre $\vec{B}$ y $\vec{A}$ es constante e igual a $90^\circ$ .El flujo magnético a través de la espira será:

\Phi_B = BA \cos(90^\circ) = 0

Dado que el flujo magnético es siempre cero, no hay variación del flujo con respecto al tiempo ( $d\Phi_B/dt = 0$ ). Por lo tanto, la fuerza electromotriz inducida es:

\mathcal{E} = - \frac{d(0)}{dt} = 0

No se induce fuerza electromotriz en la espira en esta situación.

ii) El campo magnético es perpendicular al eje de rotación.

La espira sigue girando alrededor de uno de sus diámetros, por lo que el eje de rotación está en el plano de la espira y el vector de área $\vec{A}$ es perpendicular a este eje.Si el campo magnético $\vec{B}$ es perpendicular al eje de rotación, entonces a medida que la espira gira, el ángulo $\theta$ entre el vector de campo magnético $\vec{B}$ y el vector de área $\vec{A}$ variará continuamente. Podemos expresar este ángulo como $\theta = \omega t + \theta_0$ , donde $\omega$ es la velocidad angular de rotación y $\theta_0$ es el ángulo inicial.Asumiendo que en $t=0$ el plano de la espira es perpendicular al campo magnético (lo que haría que $\vec{A}$ sea paralelo a $\vec{B}$ , $\theta_0 = 0$ ), el flujo magnético en cualquier instante $t$ sería:

\Phi_B = BA \cos(\omega t)

Para encontrar la fuerza electromotriz inducida, derivamos el flujo magnético con respecto al tiempo:

\mathcal{E} = - \frac{d}{dt} (BA \cos(\omega t))

\mathcal{E} = - BA (-\omega \sin(\omega t))

\mathcal{E} = BA\omega \sin(\omega t)

Puesto que $\sin(\omega t)$ varía sinusoidalmente entre -1 y 1, la fuerza electromotriz inducida $\mathcal{E}$ también variará sinusoidalmente con el tiempo. Esto significa que se induce una fuerza electromotriz en la espira, y esta FEM no será nula (a menos que $B$ , $A$ o $\omega$ sean cero).