T3: Vibraciones y ondas · Cinética de ondas — FISICA PEvAU Andalucía 2017

Cinética de ondas

Problema

2017 · Extraordinaria · Suplente

3A-b

Una onda armónica se propaga por una cuerda en el sentido positivo del eje X con una velocidad de $10 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ . La frecuencia del foco emisor es $2 \text{ s}^{-1}$ y la amplitud de la onda es $0,4 \text{ m}$ .

b) Escriba la ecuación de la onda considerando que en el instante inicial la elongación en el origen es cero. Calcule la velocidad de una partícula de la cuerda situada en

x = 2 \text{ m}

, en el instante

t = 1 \text{ s}

Ecuación de ondaVelocidad de vibración

b) Ecuación de la onda y velocidad de la partícula en x = 2 m, t = 1 s

Datos del problema

Velocidad de propagación: $v = 10 \ \text{m·s}^{-1}$ Frecuencia: $f = 2 \ \text{s}^{-1}$ (Hz)Amplitud: $A = 0{,}4 \ \text{m}$

Cálculo de parámetros

Periodo: $T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 \ \text{s}$ Longitud de onda: $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{10}{2} = 5 \ \text{m}$ Frecuencia angular: $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \ \text{rad·s}^{-1}$ Número de onda: $k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{5} \ \text{rad·m}^{-1}$

Ecuación de la onda

La ecuación general de una onda que se propaga en el sentido positivo del eje X es:

y(x,t) = A \sin\!\left(\omega t - kx + \varphi_0\right)

Condición inicial: en $x = 0$ y $t = 0$ , la elongación es cero:

y(0,0) = A \sin(\varphi_0) = 0 \implies \varphi_0 = 0

Por tanto, la ecuación de la onda es:

y(x,t) = 0{,}4 \sin\!\left(4\pi t - \frac{2\pi}{5}x\right) \ \text{(m)}

Velocidad de la partícula en x = 2 m, t = 1 s

La velocidad de vibración de una partícula se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega \cos\!\left(\omega t - kx\right)

v_y(x,t) = 0{,}4 \cdot 4\pi \cos\!\left(4\pi t - \frac{2\pi}{5}x\right)

Sustituyendo $x = 2 \ \text{m}$ y $t = 1 \ \text{s}$ :

v_y(2,1) = 1{,}6\pi \cos\!\left(4\pi \cdot 1 - \frac{2\pi}{5} \cdot 2\right)

v_y(2,1) = 1{,}6\pi \cos\!\left(4\pi - \frac{4\pi}{5}\right) = 1{,}6\pi \cos\!\left(\frac{16\pi}{5}\right)

Como $\cos\!\left(\dfrac{16\pi}{5}\right) = \cos\!\left(\dfrac{16\pi}{5} - 2\pi\right) = \cos\!\left(\dfrac{6\pi}{5}\right) = \cos(216^\circ) \approx -0{,}809$ :

v_y(2,1) = 1{,}6\pi \cdot (-0{,}809) \approx -4{,}07 \ \text{m·s}^{-1}

La velocidad de la partícula situada en $x = 2 \ \text{m}$ en el instante $t = 1 \ \text{s}$ es aproximadamente $-4{,}07 \ \text{m·s}^{-1}$ (el signo negativo indica que la partícula se mueve en el sentido negativo del eje Y en ese instante).