T5: Probabilidad · Teorema de la probabilidad total y Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Teorema de la probabilidad total y Bayes

Problema

2020 · Ordinaria · Suplente

Una empresa almacena el mismo número de latas de refresco de cola, naranja y limón. De las 30 000 latas de refresco almacenadas, se sabe que 1 800 latas de cola, 2 400 de naranja y 3 000 de limón caducan en 2021.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lata elegida al azar caduque en 2021?b) Si se ha elegido al azar una lata que no caduca en 2021, ¿cuál es la probabilidad de que sea de cola?

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad condicionada

Se definen los siguientes eventos:* $C$ : La lata es de cola.* $N$ : La lata es de naranja.* $L$ : La lata es de limón.* $F$ : La lata caduca en 2021.* $F'$ : La lata no caduca en 2021.El número total de latas es $30\,000$ . Dado que hay el mismo número de latas de cada tipo, tenemos:

N(C) = N(N) = N(L) = \frac{30\,000}{3} = 10\,000

Los datos sobre las latas que caducan son:* $N(C \cap F) = 1\,800$ (latas de cola que caducan)* $N(N \cap F) = 2\,400$ (latas de naranja que caducan)* $N(L \cap F) = 3\,000$ (latas de limón que caducan)

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lata elegida al azar caduque en 2021?

Se pide calcular $P(F)$ . El número total de latas que caducan es la suma de las latas de cada tipo que caducan:

N(F) = N(C \cap F) + N(N \cap F) + N(L \cap F) = 1\,800 + 2\,400 + 3\,000 = 7\,200

La probabilidad de que una lata elegida al azar caduque en 2021 es:

P(F) = \frac{N(F)}{N(\text{Total})} = \frac{7\,200}{30\,000} = \frac{72}{300} = \frac{6}{25} = 0.24

b) Si se ha elegido al azar una lata que no caduca en 2021, ¿cuál es la probabilidad de que sea de cola?

Se pide calcular $P(C | F')$ . Primero calculamos la probabilidad de que una lata no caduque en 2021, $P(F')$ :

P(F') = 1 - P(F) = 1 - 0.24 = 0.76

Alternativamente, el número de latas que no caducan es:

N(F') = N(\text{Total}) - N(F) = 30\,000 - 7\,200 = 22\,800

Luego, calculamos el número de latas de cola que no caducan:

N(C \cap F') = N(C) - N(C \cap F) = 10\,000 - 1\,800 = 8\,200

La probabilidad de que una lata sea de cola y no caduque es:

P(C \cap F') = \frac{N(C \cap F')}{N(\text{Total})} = \frac{8\,200}{30\,000} = \frac{82}{300} = \frac{41}{150}

Finalmente, aplicamos la fórmula de probabilidad condicional:

P(C | F') = \frac{P(C \cap F')}{P(F')} = \frac{41/150}{0.76} = \frac{41/150}{76/100}

P(C | F') = \frac{41}{150} \cdot \frac{100}{76} = \frac{41 \cdot 100}{150 \cdot 76} = \frac{41 \cdot 2}{3 \cdot 76} = \frac{82}{228} = \frac{41}{114}