T1: Interacción gravitatoria

Órbitas circulares

Teoría

2022 · Extraordinaria · Suplente

A2-a

a) Deduzca la expresión de la velocidad orbital de un satélite y razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: Cuanto mayor sea la masa de un satélite, orbitando a una determinada altura, más tardará en dar una vuelta completa en su órbita.

velocidad orbitalperíodo orbital

a) Deducción de la expresión de la velocidad orbital de un satélite y análisis de la afirmación.

Consideremos un satélite de masa $m$ orbitando alrededor de un cuerpo central (planeta) de masa $M$ a una distancia $r$ del centro del planeta. La fuerza gravitatoria que el planeta ejerce sobre el satélite es la fuerza centrípeta necesaria para mantenerlo en su órbita circular.

La magnitud de la fuerza gravitatoria viene dada por la Ley de Gravitación Universal de Newton:

F_g = G \frac{M m}{r^2}

Donde $G$ es la constante de gravitación universal.La magnitud de la fuerza centrípeta necesaria para un movimiento circular uniforme es:

F_c = \frac{m v^2}{r}

Igualando ambas fuerzas:

G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

Podemos simplificar la masa del satélite ( $m$ ) y uno de los términos del radio ( $r$ ):

G \frac{M}{r} = v^2

Despejando la velocidad orbital $v$ :

v = \sqrt{G \frac{M}{r}}

Esta es la expresión para la velocidad orbital de un satélite. Es importante notar que la velocidad orbital depende de la masa del cuerpo central ( $M$ ), la constante de gravitación universal ( $G$ ) y el radio de la órbita ( $r$ ), pero no depende de la masa del satélite ( $m$ ).Ahora, analicemos la afirmación: "Cuanto mayor sea la masa de un satélite, orbitando a una determinada altura, más tardará en dar una vuelta completa en su órbita." El tiempo que tarda un satélite en dar una vuelta completa es el período orbital ( $T$ ). Sabemos que la relación entre la velocidad orbital, el radio de la órbita y el período es:

v = \frac{2 \pi r}{T} \implies T = \frac{2 \pi r}{v}

Sustituyendo la expresión de $v$ que hemos deducido:

T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{G \frac{M}{r}}} = 2 \pi r \sqrt{\frac{r}{G M}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}

Esta expresión para el período orbital (Tercera Ley de Kepler) muestra que el período orbital de un satélite depende únicamente del radio de la órbita ( $r$ ), de la masa del cuerpo central ( $M$ ) y de la constante de gravitación universal ( $G$ ). Al igual que la velocidad orbital, el período orbital no depende de la masa del satélite ( $m$ ).Por lo tanto, si dos satélites de diferente masa orbitan a la misma altura (mismo radio $r$ ) alrededor del mismo planeta (misma masa $M$ ), tendrán la misma velocidad orbital y, por consiguiente, el mismo período orbital.La afirmación es $\ce{FALSA}$ .