T1: Interacción gravitatoria

Campo y potencial gravitatorio

Teoría

2020 · Extraordinaria · Reserva

1-a

a) Un planeta A tiene el triple de masa y doble de radio que otro planeta B. Determine las relaciones entre: i) Los campos gravitatorios en la superficie de los dos planetas. ii) Los potenciales gravitatorios en la superficie de ambos planetas.

Interacción gravitatoriaCampo gravitatorioPotencial gravitatorio

a) Definimos las relaciones entre las masas y los radios de los planetas A y B:

M_A = 3M_B

R_A = 2R_B

i) Relación entre los campos gravitatorios en la superficie de los dos planetas.

El campo gravitatorio en la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$ viene dado por la expresión:

g = G \frac{M}{R^2}

Para el planeta A, el campo gravitatorio en su superficie es:

g_A = G \frac{M_A}{R_A^2}

Para el planeta B, el campo gravitatorio en su superficie es:

g_B = G \frac{M_B}{R_B^2}

Ahora, sustituimos las relaciones dadas para $M_A$ y $R_A$ en la expresión de $g_A$ :

g_A = G \frac{3M_B}{(2R_B)^2} = G \frac{3M_B}{4R_B^2} = \frac{3}{4} G \frac{M_B}{R_B^2}

Como $g_B = G \frac{M_B}{R_B^2}$ , podemos expresar $g_A$ en términos de $g_B$ :

g_A = \frac{3}{4} g_B

La relación entre los campos gravitatorios es:

\frac{g_A}{g_B} = \frac{3}{4}

ii) Relación entre los potenciales gravitatorios en la superficie de ambos planetas.

El potencial gravitatorio en la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$ viene dado por la expresión:

V = -G \frac{M}{R}

Para el planeta A, el potencial gravitatorio en su superficie es:

V_A = -G \frac{M_A}{R_A}

Para el planeta B, el potencial gravitatorio en su superficie es:

V_B = -G \frac{M_B}{R_B}

Ahora, sustituimos las relaciones dadas para $M_A$ y $R_A$ en la expresión de $V_A$ :

V_A = -G \frac{3M_B}{2R_B} = \frac{3}{2} \left( -G \frac{M_B}{R_B} \right)

Como $V_B = -G \frac{M_B}{R_B}$ , podemos expresar $V_A$ en términos de $V_B$ :

V_A = \frac{3}{2} V_B

La relación entre los potenciales gravitatorios es:

\frac{V_A}{V_B} = \frac{3}{2}