T6: Teoría de muestras · Estimación de la proporción — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Estimación de la proporción

Problema

2022 · Ordinaria · Titular

Se quiere estudiar la proporción de perros que están vacunados en Andalucía. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 400 perros de los que 320 resultan estar vacunados.

a) Obtenga un intervalo con un nivel de confianza del 92% para estimar la proporción de perros vacunados en Andalucía y calcule el error máximo cometido.b) En una nueva muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuántos perros, como mínimo, hay que elegir para que el error sea menor que 0.02?

Intervalo de confianzaProporción poblacionalTamaño muestral

Se trata de un problema de inferencia estadística sobre una proporción poblacional.Datos iniciales:Tamaño de la muestra: $n = 400$ Número de perros vacunados: $x = 320$ Proporción muestral de perros vacunados: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{320}{400} = 0.8$ Proporción muestral de perros no vacunados: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.8 = 0.2$

a) Obtenga un intervalo con un nivel de confianza del 92% para estimar la proporción de perros vacunados en Andalucía y calcule el error máximo cometido.

El nivel de confianza es del 92%, lo que significa $1 - \alpha = 0.92$ . Por lo tanto, $\alpha = 0.08$ y $\alpha/2 = 0.04$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.04 = 0.96$ . Consultando las tablas de la distribución normal estándar, encontramos que $z_{0.04} \approx 1.75$ .La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción poblacional es:

\text{IC} = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)

Primero, calculamos el error máximo (o margen de error), $E$ :

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}

E = 1.75 \sqrt{\frac{0.8 \times 0.2}{400}}

E = 1.75 \sqrt{\frac{0.16}{400}}

E = 1.75 \sqrt{0.0004}

E = 1.75 \times 0.02

E = 0.035

El error máximo cometido es $0.035$ .Ahora, construimos el intervalo de confianza:

\text{IC} = (0.8 - 0.035, 0.8 + 0.035)

\text{IC} = (0.765, 0.835)

El intervalo de confianza del 92% para la proporción de perros vacunados en Andalucía es $(0.765, 0.835)$ .

b) En una nueva muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuántos perros, como mínimo, hay que elegir para que el error sea menor que 0.02?

Mantenemos el mismo nivel de confianza del 92%, por lo que $z_{\alpha/2} = 1.75$ .Mantenemos la misma proporción muestral $\hat{p} = 0.8$ y $\hat{q} = 0.2$ .El error deseado es $E < 0.02$ . Para encontrar el tamaño mínimo de la muestra, usamos $E = 0.02$ .La fórmula para el error es $E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$ . Despejamos $n$ :

E^2 = z_{\alpha/2}^2 \frac{\hat{p}\hat{q}}{n}

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p}\hat{q}}{E^2}

n = \frac{(1.75)^2 \times 0.8 \times 0.2}{(0.02)^2}

n = \frac{3.0625 \times 0.16}{0.0004}

n = \frac{0.49}{0.0004}

n = 1225

Se deben elegir, como mínimo, $1225$ perros para que el error sea menor que $0.02$ .