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T6: Física nuclear
Radiactividad
Problema
2023 · Ordinaria · Reserva
D2-b
Examen
b) La radiación emitida por el X53131X2532131I\ce{^{131}_{53}I} tiene aplicación en el tratamiento del cáncer de tiroides. Un hospital cuenta con una muestra de X53131X2532131I\ce{^{131}_{53}I} cuya masa inicial era 250 g250 \text{ g} y que actualmente es de 10 g10 \text{ g}. Sabiendo que el periodo de semidesintegración del X53131X2532131I\ce{^{131}_{53}I} es de 8,02 dıˊas8,02 \text{ días}, calcule: i) la constante radiactiva del X53131X2532131I\ce{^{131}_{53}I}; ii) el número inicial de núcleos que contenía la muestra; iii) la actividad actual de la muestra.

Datos: m(X53131X2532131I)=130,906126 um(\ce{^{131}_{53}I}) = 130,906126 \text{ u}; 1 u=1,66⋅10−27 kg1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

Ley de desintegraciónYodo-131
b) Decaimiento radiactivo del X53131X2532131I\ce{^{131}_{53}I}
i) Constante radiactiva

La constante radiactiva λ\lambda se relaciona con el período de semidesintegración T1/2T_{1/2} mediante:

λ=ln⁡2T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Convirtiendo el período a segundos: T1/2=8,02 dıˊas×86400 s/dıˊa=692928 sT_{1/2} = 8{,}02 \text{ días} \times 86400 \text{ s/día} = 692928 \text{ s}

λ=0,6931692928 s=1,0003×10−6 s−1≈1,00×10−6 s−1\lambda = \frac{0{,}6931}{692928 \text{ s}} = 1{,}0003 \times 10^{-6} \text{ s}^{-1} \approx 1{,}00 \times 10^{-6} \text{ s}^{-1}
ii) Número inicial de núcleos

La masa de un núcleo de X53131X2532131I\ce{^{131}_{53}I} en kg es:

mnuˊcleo=130,906126 u×1,66×10−27 kg/u=2,173×10−25 kgm_{\text{núcleo}} = 130{,}906126 \text{ u} \times 1{,}66 \times 10^{-27} \text{ kg/u} = 2{,}173 \times 10^{-25} \text{ kg}

La masa inicial es m0=250 g=0,250 kgm_0 = 250 \text{ g} = 0{,}250 \text{ kg}. El número inicial de núcleos es:

N0=m0mnuˊcleo=0,250 kg2,173×10−25 kg=1,150×1024 nuˊcleosN_0 = \frac{m_0}{m_{\text{núcleo}}} = \frac{0{,}250 \text{ kg}}{2{,}173 \times 10^{-25} \text{ kg}} = 1{,}150 \times 10^{24} \text{ núcleos}
iii) Actividad actual de la muestra

Primero calculamos el número actual de núcleos NN a partir de la masa actual m=10 g=0,010 kgm = 10 \text{ g} = 0{,}010 \text{ kg}:

N=mmnuˊcleo=0,010 kg2,173×10−25 kg=4,602×1022 nuˊcleosN = \frac{m}{m_{\text{núcleo}}} = \frac{0{,}010 \text{ kg}}{2{,}173 \times 10^{-25} \text{ kg}} = 4{,}602 \times 10^{22} \text{ núcleos}

La actividad actual se define como A=λ⋅NA = \lambda \cdot N:

A=λ⋅N=1,00×10−6 s−1×4,602×1022=4,60×1016 desintegraciones/sA = \lambda \cdot N = 1{,}00 \times 10^{-6} \text{ s}^{-1} \times 4{,}602 \times 10^{22} = 4{,}60 \times 10^{16} \text{ desintegraciones/s}
A≈4,60×1016 BqA \approx 4{,}60 \times 10^{16} \text{ Bq}

Podemos verificar este resultado usando la ley de desintegración. La relación entre la masa actual y la inicial confirma el tiempo transcurrido: mm0=10250=0,04=e−λt\frac{m}{m_0} = \frac{10}{250} = 0{,}04 = e^{-\lambda t}, es decir, la muestra ha perdido el 96% de su masa, lo cual es consistente con aproximadamente 4,6 vidas medias.