T6: Teoría de muestras · Inferencia estadística: proporción — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Inferencia estadística: proporción

Problema

2021 · Extraordinaria · Reserva

EJERCICIO 7

Para un estudio acerca del uso del transporte público en una ciudad, se selecciona una muestra aleatoria de 500 individuos, obteniéndose que 175 de ellos lo usan.

a) Halle un intervalo de confianza al 94% para estimar la proporción real de individuos que usan el transporte público en esa ciudad.b) Manteniendo la proporción muestral, ¿cuántos individuos se deberían seleccionar como mínimo, para que, con un nivel de confianza del 97%, la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un 2%?

Intervalo de confianzaProporciónTamaño muestral

Datos iniciales:

n = 500 \text{ individuos}

x = 175 \text{ usan transporte público}

La proporción muestral de individuos que usan el transporte público es:

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{175}{500} = 0.35

La proporción muestral de individuos que NO usan el transporte público es:

\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.35 = 0.65

a) Halle un intervalo de confianza al 94% para estimar la proporción real de individuos que usan el transporte público en esa ciudad.

Para un nivel de confianza del 94%, tenemos:

\text{Nivel de confianza} = 1 - \alpha = 0.94 \implies \alpha = 0.06

\frac{\alpha}{2} = 0.03

Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.03 = 0.97$ .Consultando las tablas de la distribución normal estándar (o usando una calculadora), encontramos que:

z_{0.03} \approx 1.88

El intervalo de confianza para la proporción poblacional $(p)$ se calcula con la fórmula:

\text{IC} = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)

Calculamos el margen de error $E$ :

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1.88 \sqrt{\frac{0.35 \cdot 0.65}{500}}

E = 1.88 \sqrt{\frac{0.2275}{500}} = 1.88 \sqrt{0.000455}

E \approx 1.88 \cdot 0.02133 \approx 0.04009

Finalmente, construimos el intervalo de confianza:

\text{IC} = (0.35 - 0.04009, 0.35 + 0.04009)

\text{IC} = (0.30991, 0.39009)

El intervalo de confianza al 94% para la proporción real de individuos que usan el transporte público es $(0.30991, 0.39009)$ .

b) Manteniendo la proporción muestral, ¿cuántos individuos se deberían seleccionar como mínimo, para que, con un nivel de confianza del 97%, la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un 2%?

Manteniendo la proporción muestral, tenemos $\hat{p} = 0.35$ y $\hat{q} = 0.65$ .El nivel de confianza es del 97% y el margen de error máximo permitido es del 2% ( $E = 0.02$ ).Para un nivel de confianza del 97%:

\text{Nivel de confianza} = 1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03

\frac{\alpha}{2} = 0.015

Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.985$ .Consultando las tablas de la distribución normal estándar, encontramos que:

z_{0.015} \approx 2.17

La fórmula para el tamaño muestral $(n)$ cuando se conoce el margen de error $(E)$ es:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p}\hat{q}}{E^2}

Sustituyendo los valores:

n = \frac{(2.17)^2 \cdot 0.35 \cdot 0.65}{(0.02)^2}

n = \frac{4.7089 \cdot 0.2275}{0.0004}

n = \frac{1.07187475}{0.0004}

n \approx 2679.686875

Dado que el número de individuos debe ser un número entero y se requiere un "mínimo", debemos redondear al entero superior.

n_{\text{mínimo}} = 2680

Se deberían seleccionar como mínimo 2680 individuos.