T6: Teoría de muestras · Estimación de la media — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Estimación de la media

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

La vida útil de un determinado modelo de teléfono móvil (en meses) se distribuye según una ley Normal de varianza $9.61 \text{ meses}^2$ . En una muestra de 10 teléfonos, la vida útil de los mismos ha sido:

30.6 \quad 30 \quad 31.3 \quad 29.7 \quad 32.3 \quad 32 \quad 32.8 \quad 31.5 \quad 31.2 \quad 30.5

a) Determine un intervalo de confianza para estimar la vida útil de este modelo de teléfono móvil con un nivel de confianza del

97\%

.b) Determine el tamaño mínimo muestral para que, con el mismo nivel de confianza, el error que se comete al estimar la duración media de la vida útil de este modelo de teléfono móvil sea inferior a

0.15 \text{ meses}

Distribución NormalIntervalo de confianza para la mediaTamaño muestral

Datos proporcionados:Varianza $\sigma^2 = 9.61 \text{ meses}^2$ , lo que implica una desviación típica $\sigma = \sqrt{9.61} = 3.1 \text{ meses}$ .Tamaño muestral $n = 10$ .Muestra de vidas útiles (en meses): $30.6, 30, 31.3, 29.7, 32.3, 32, 32.8, 31.5, 31.2, 30.5$ .Nivel de confianza $C = 97\% = 0.97$ .Cálculo de la media muestral $(\bar{x})$ :

\bar{x} = \frac{30.6 + 30 + 31.3 + 29.7 + 32.3 + 32 + 32.8 + 31.5 + 31.2 + 30.5}{10} = \frac{313.9}{10} = 31.39 \text{ meses}

Para el nivel de confianza del $97\%$ , calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ :

1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03

\alpha/2 = 0.015

P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985

Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar, o usando una calculadora, obtenemos $z_{\alpha/2} \approx 2.17$ .

a) Determine un intervalo de confianza para estimar la vida útil de este modelo de teléfono móvil con un nivel de confianza del

97\%

El intervalo de confianza para la media $\mu$ con desviación típica conocida se calcula con la fórmula:

IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Primero, calculamos el margen de error $(E)$ :

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \frac{3.1}{\sqrt{10}} \approx 2.17 \frac{3.1}{3.162277} \approx 2.17 \times 0.98028 \approx 2.1272

Ahora, sustituimos los valores en la fórmula del intervalo de confianza:

IC = (31.39 - 2.1272, 31.39 + 2.1272)

IC = (29.2628, 33.5172)

Redondeando a dos decimales, el intervalo de confianza es $(29.26, 33.52) \text{ meses}$ .

b) Determine el tamaño mínimo muestral para que, con el mismo nivel de confianza, el error que se comete al estimar la duración media de la vida útil de este modelo de teléfono móvil sea inferior a

0.15 \text{ meses}

El error máximo permitido es $E = 0.15 \text{ meses}$ .La fórmula para el margen de error es $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .Despejamos $n$ de la ecuación:

\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E}

n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2

Sustituimos los valores conocidos:

n = \left( \frac{2.17 \times 3.1}{0.15} \right)^2

n = \left( \frac{6.727}{0.15} \right)^2

n = (44.8466...)^2

n \approx 2011.22

Dado que el tamaño muestral debe ser un número entero y se necesita que el error sea inferior a $0.15 \text{ meses}$ , debemos redondear al entero superior.El tamaño mínimo muestral necesario es $2012 \text{ teléfonos}$ .