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T3: Geometría
Geometría analítica
Problema
2023 · Extraordinaria · Titular
7
Examen

Considera los planos π1≡x−y+z=0\pi_1 \equiv x - y + z = 0 y π2≡x+y=2\pi_2 \equiv x + y = 2.

a) Calcula la distancia entre la recta intersección de π1\pi_1 y π2\pi_2 y el punto P(2,6,−2)P(2, 6, -2).b) Halla el ángulo que forman π1\pi_1 y π2\pi_2.
DistanciaPlanosÁngulo entre planos
Resolución del ejercicio de Geometría
a) Calcula la distancia entre la recta intersección de π1\pi_1 y π2\pi_2 y el punto P(2,6,−2)P(2, 6, -2).

Primero determinamos la recta rr dada por la intersección de los planos. Para ello, obtenemos su vector director vr⃗\vec{v_r} mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos n1⃗=(1,−1,1)\vec{n_1} = (1, -1, 1) y n2⃗=(1,1,0)\vec{n_2} = (1, 1, 0):

vr⃗=n1⃗×n2⃗=∣i⃗j⃗k⃗1−11110∣=(−1,1,2)\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1, 1, 2)

Buscamos ahora un punto AA que pertenezca a la recta rr resolviendo el sistema para un valor arbitrario, por ejemplo x=1x = 1. De la segunda ecuación del plano, 1+y=2  ⟹  y=11 + y = 2 \implies y = 1. Sustituyendo en la primera: 1−1+z=0  ⟹  z=01 - 1 + z = 0 \implies z = 0. Por tanto, el punto es A(1,1,0)A(1, 1, 0).La distancia de un punto PP a una recta rr se calcula con la fórmula:

d(P,r)=∣AP⃗×vr⃗∣∣vr⃗∣d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v_r}|}{|\vec{v_r}|}

Calculamos el vector AP⃗=P−A=(2−1,6−1,−2−0)=(1,5,−2)\vec{AP} = P - A = (2 - 1, 6 - 1, -2 - 0) = (1, 5, -2) y el producto vectorial correspondiente:

AP⃗×vr⃗=∣i⃗j⃗k⃗15−2−112∣=(12,0,6)\vec{AP} \times \vec{v_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 5 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (12, 0, 6)

Finalmente, hallamos los módulos y la distancia:

d(P,r)=122+02+62(−1)2+12+22=144+361+1+4=1806=30 unidadesd(P, r) = \frac{\sqrt{12^2 + 0^2 + 6^2}}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{\sqrt{144 + 36}}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{6}} = \sqrt{30} \text{ unidades}
b) Halla el ángulo que forman π1\pi_1 y π2\pi_2.

El ángulo α\alpha que forman dos planos es el ángulo agudo que forman sus vectores normales n1⃗=(1,−1,1)\vec{n_1} = (1, -1, 1) y n2⃗=(1,1,0)\vec{n_2} = (1, 1, 0). Se utiliza la expresión del producto escalar:

\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}

Calculamos el producto escalar de los vectores normales:

n1⃗⋅n2⃗=(1)(1)+(−1)(1)+(1)(0)=1−1+0=0\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(0) = 1 - 1 + 0 = 0

Como el producto escalar es cero, los vectores normales son perpendiculares entre sí, lo que implica que los planos también lo son:

\cos(\alpha) = 0 \implies \alpha = 90^\circ