T5: Integrales · Cálculo de integrales — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Cálculo de integrales

Cálculo

2022 · Ordinaria · Suplente

EJERCICIO 4

Calcula $\int_{0}^{1} x \arctan (x) \, dx$ (donde $\arctan$ denota la función arcotangente).

Integral definidaIntegración por partesArcotangente

Para resolver la integral definida, utilizaremos el método de integración por partes, cuya fórmula es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ .Definimos $u$ y $dv$ de la siguiente manera:

u = \arctan(x) \implies du = \frac{1}{1+x^2} \, dx

dv = x \, dx \implies v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes:

\int x \arctan(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx

= \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx

Resolvemos la integral restante $\int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$ . Podemos reescribir el numerador como $x^2 = (1+x^2) - 1$ :

\int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx = \int \frac{(1+x^2) - 1}{1+x^2} \, dx

= \int \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) \, dx

= x - \arctan(x)

Sustituimos este resultado de nuevo en la expresión de la integral principal:

\int x \arctan(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} (x - \arctan(x)) + C

= \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C

Finalmente, evaluamos la integral definida en los límites de integración de $0$ a $1$ :

\int_{0}^{1} x \arctan (x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan(x) \right]_{0}^{1}

= \left( \frac{1^2}{2} \arctan(1) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \arctan(1) \right) - \left( \frac{0^2}{2} \arctan(0) - \frac{0}{2} + \frac{1}{2} \arctan(0) \right)

Sabiendo que $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ y $\arctan(0) = 0$ :

= \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \right) - (0 - 0 + 0)

= \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} \right)

= \frac{2\pi}{8} - \frac{1}{2}

= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}