T5: Probabilidad · Probabilidad compuesta y condicionada — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Probabilidad compuesta y condicionada

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

En una encuesta realizada en un instituto sobre los hábitos de los estudiantes en su tiempo libre, el $80\%$ de los encuestados dedica el tiempo libre a enviar mensajes con el móvil o a jugar a videojuegos, el $45\%$ realiza ambas cosas y el $40\%$ no juega a videojuegos. Si se elige un estudiante de ese instituto al azar, calcule la probabilidad de que dedique su tiempo libre a:

a) Enviar mensajes con el móvil y no jugar a videojuegos.b) Jugar a videojuegos sabiendo que no envía mensajes con el móvil.c) Hacer solamente una de las dos cosas.d) No hacer ninguna de las dos cosas.

ProbabilidadUnión e intersecciónProbabilidad condicionada

Definimos los siguientes sucesos: $M$ : El estudiante dedica su tiempo libre a enviar mensajes con el móvil. $V$ : El estudiante dedica su tiempo libre a jugar a videojuegos.Los datos proporcionados son los siguientes:

P(M \cup V) = 0.80

P(M \cap V) = 0.45

P(V^c) = 0.40

A partir de estos datos, podemos calcular otras probabilidades:

P(V) = 1 - P(V^c) = 1 - 0.40 = 0.60

Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de sucesos:

P(M \cup V) = P(M) + P(V) - P(M \cap V)

0.80 = P(M) + 0.60 - 0.45

0.80 = P(M) + 0.15

P(M) = 0.80 - 0.15 = 0.65

Por lo tanto, $P(M) = 0.65$ y $P(V) = 0.60$ .

a) Enviar mensajes con el móvil y no jugar a videojuegos.

Se pide calcular $P(M \cap V^c)$ . Esta probabilidad se obtiene restando a la probabilidad de $M$ la probabilidad de la intersección de $M$ y $V$ :

P(M \cap V^c) = P(M) - P(M \cap V) = 0.65 - 0.45 = 0.20

b) Jugar a videojuegos sabiendo que no envía mensajes con el móvil.

Se pide calcular $P(V | M^c)$ . Para ello, primero necesitamos $P(M^c)$ y $P(V \cap M^c)$ .

P(M^c) = 1 - P(M) = 1 - 0.65 = 0.35

P(V \cap M^c) = P(V) - P(M \cap V) = 0.60 - 0.45 = 0.15

Ahora aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(V | M^c) = \frac{P(V \cap M^c)}{P(M^c)} = \frac{0.15}{0.35} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}

c) Hacer solamente una de las dos cosas.

Esto significa que el estudiante envía mensajes con el móvil y no juega a videojuegos, o que juega a videojuegos y no envía mensajes con el móvil. Es decir, $P((M \cap V^c) \cup (V \cap M^c))$ . Esta probabilidad es equivalente a la probabilidad de la unión menos la probabilidad de la intersección.

P(\text{solo una cosa}) = P(M \cup V) - P(M \cap V) = 0.80 - 0.45 = 0.35

Alternativamente, podemos sumar las probabilidades de cada suceso exclusivo:

P(\text{solo una cosa}) = P(M \cap V^c) + P(V \cap M^c) = 0.20 + 0.15 = 0.35

d) No hacer ninguna de las dos cosas.

Se pide calcular la probabilidad del suceso complementario a la unión de $M$ y $V$ , es decir, $P((M \cup V)^c)$ .

P((M \cup V)^c) = 1 - P(M \cup V) = 1 - 0.80 = 0.20