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T2: Interacción electromagnética
Inducción
Problema
2021 · Ordinaria · Suplente
B.2-b
Examen
b) Una bobina de 5050 espiras circulares de 0,05 m0,05 \text{ m} de radio se orienta en un campo magnético de manera que el flujo que la atraviesa sea máximo en todo instante. El módulo del campo magnético varía con el tiempo según la expresión B(t)=0,5⋅t+0,8⋅t2B(t) = 0,5 \cdot t + 0,8 \cdot t^2 (S.I.). i) Deduzca la expresión del flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo. ii) Determine razonadamente la fuerza electromotriz inducida en la bobina en el instante t=10 st = 10 \text{ s}.
BobinaFlujo magnéticoLey de Faraday-Lenz
i) Deduzca la expresión del flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo.

El área de cada espira circular es:

A=πr2=π(0,05 m)2=0,0025π m2A = \pi r^2 = \pi (0,05 \text{ m})^2 = 0,0025 \pi \text{ m}^2

La expresión general para el flujo magnético (ΦB\Phi_B) a través de una bobina de NN espiras, con un campo magnético BB uniforme y una superficie AA, es:

ΦB=NBAcos⁡θ\Phi_B = N B A \cos \theta

Dado que la bobina se orienta de manera que el flujo que la atraviesa sea máximo en todo instante, el ángulo θ\theta entre el vector campo magnético y el vector área es 0∘0^\circ, por lo tanto cos⁡θ=1\cos \theta = 1. Sustituyendo los valores proporcionados:

N=50 espirasN = 50 \text{ espiras}
B(t)=0,5t+0,8t2 (S.I.)B(t) = 0,5t + 0,8t^2 \text{ (S.I.)}
A=0,0025π m2A = 0,0025 \pi \text{ m}^2

La expresión del flujo magnético en función del tiempo es:

ΦB(t)=50⋅(0,5t+0,8t2)⋅(0,0025π)⋅1\Phi_B(t) = 50 \cdot (0,5t + 0,8t^2) \cdot (0,0025 \pi) \cdot 1
ΦB(t)=(50⋅0,0025π)(0,5t+0,8t2)\Phi_B(t) = (50 \cdot 0,0025 \pi) (0,5t + 0,8t^2)
ΦB(t)=0,125π(0,5t+0,8t2) Wb\Phi_B(t) = 0,125 \pi (0,5t + 0,8t^2) \text{ Wb}
ii) Determine razonadamente la fuerza electromotriz inducida en la bobina en el instante t=10 st = 10 \text{ s}.

Según la Ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz (FEM) inducida (E\mathcal{E}) en la bobina se determina por la tasa de cambio del flujo magnético con el tiempo:

E=−dΦBdt\mathcal{E} = - \frac{d\Phi_B}{dt}

Derivamos la expresión del flujo magnético obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:

dΦBdt=ddt[0,125π(0,5t+0,8t2)]\frac{d\Phi_B}{dt} = \frac{d}{dt} [0,125 \pi (0,5t + 0,8t^2)]
dΦBdt=0,125πddt(0,5t+0,8t2)\frac{d\Phi_B}{dt} = 0,125 \pi \frac{d}{dt} (0,5t + 0,8t^2)
dΦBdt=0,125π(0,5+1,6t)\frac{d\Phi_B}{dt} = 0,125 \pi (0,5 + 1,6t)

Ahora, sustituimos t=10 st = 10 \text{ s} en esta expresión:

dΦBdt∣t=10 s=0,125π(0,5+1,6⋅10)\left. \frac{d\Phi_B}{dt} \right|_{t=10\text{ s}} = 0,125 \pi (0,5 + 1,6 \cdot 10)
dΦBdt∣t=10 s=0,125π(0,5+16)\left. \frac{d\Phi_B}{dt} \right|_{t=10\text{ s}} = 0,125 \pi (0,5 + 16)
dΦBdt∣t=10 s=0,125π(16,5)\left. \frac{d\Phi_B}{dt} \right|_{t=10\text{ s}} = 0,125 \pi (16,5)
dΦBdt∣t=10 s=2,0625π Wb/s\left. \frac{d\Phi_B}{dt} \right|_{t=10\text{ s}} = 2,0625 \pi \text{ Wb/s}

Finalmente, la fuerza electromotriz inducida en el instante t=10 st = 10 \text{ s} es:

E=−2,0625π V\mathcal{E} = - 2,0625 \pi \text{ V}

Calculando el valor numérico (tomando π≈3,14159\pi \approx 3,14159):

E≈−2,0625⋅3,14159 V\mathcal{E} \approx - 2,0625 \cdot 3,14159 \text{ V}
E≈−6,48 V\mathcal{E} \approx - 6,48 \text{ V}

El signo negativo indica el sentido de la FEM inducida, que se opone a la variación del flujo magnético según la Ley de Lenz.