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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Problema
2022 · Ordinaria · Reserva
B2-b
Examen
b) Una espira cuadrada de 0,15 m0,15 \text{ m} de lado, con sus lados paralelos a los ejes OX y OY, se mueve con velocidad constante de 0,05 m/s0,05 \text{ m/s} en sentido positivo del eje OX en una región donde hay un campo magnético uniforme y constante dirigido en sentido positivo del eje OZ. El módulo del campo es 10 T10 \text{ T} para x≥0x \geq 0 y nulo para x<0x < 0. La espira procede de la región donde no hay campo y empieza a entrar en la región donde hay campo en el instante t=0 st = 0 \text{ s}. i) Calcule, ayudándose de un esquema, la expresión para el flujo del campo magnético y represéntelo entre t=0t = 0 y t=5 st = 5 \text{ s}. ii) Determine el valor de la f.e.m. inducida en la espira y represente su módulo entre t=0t = 0 y t=5 st = 5 \text{ s}.
Interacción electromagnéticaFlujo magnéticoFuerza electromotriz
b) i) Para calcular la expresión del flujo del campo magnético, consideremos la espira moviéndose en el eje OX. La espira tiene un lado L=0,15 mL = 0,15 \text{ m} y una velocidad v=0,05 m/sv = 0,05 \text{ m/s}. El campo magnético B⃗\vec{B} es uniforme y constante, dirigido en sentido positivo del eje OZ, con módulo B=10 TB = 10 \text{ T} para x≥0x \geq 0 y nulo para x<0x < 0. La espira empieza a entrar en la región con campo en t=0 st=0 \text{ s}. Sea xe(t)x_e(t) la posición del borde delantero de la espira. Como la velocidad es constante, xe(t)=vtx_e(t) = v t.

El flujo magnético Φ\Phi a través de la espira se calcula como la integral de superficie del campo magnético: Φ=∫B⃗⋅dA⃗\Phi = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}. Dado que el campo es uniforme en la región donde existe y el vector de área de la espira es paralelo al campo (ambos en dirección Z), la expresión se simplifica a Φ=BAefectiva\Phi = B A_{\text{efectiva}}, donde AefectivaA_{\text{efectiva}} es el área de la espira que se encuentra dentro del campo magnético.La espira tarda un tiempo tet_e en entrar completamente en la región con campo, que es el tiempo que tarda su lado en recorrer su propia longitud:

te=Lv=0,15 m0,05 m/s=3 st_e = \frac{L}{v} = \frac{0,15 \text{ m}}{0,05 \text{ m/s}} = 3 \text{ s}

Distinguimos dos fases:1. Cuando la espira está entrando en el campo magnético (0≤t≤te0 \leq t \leq t_e): En este intervalo, la porción de la espira que se encuentra dentro del campo magnético es un rectángulo de longitud vtvt y ancho LL. Por tanto, el área efectiva es Aefectiva(t)=L(vt)A_{\text{efectiva}}(t) = L (vt).

Φ(t)=BAefectiva(t)=BLvt\Phi(t) = B A_{\text{efectiva}}(t) = B L v t
Φ(t)=(10 T)(0,15 m)(0,05 m/s)t=0,075t Wb\Phi(t) = (10 \text{ T}) (0,15 \text{ m}) (0,05 \text{ m/s}) t = 0,075 t \text{ Wb}

2. Cuando la espira está completamente dentro del campo magnético (t>tet > t_e): A partir de t=3 st = 3 \text{ s}, toda la espira se encuentra dentro del campo. El área efectiva es el área total de la espira, Atotal=L2A_{\text{total}} = L^2.

Φ(t)=BAtotal=BL2\Phi(t) = B A_{\text{total}} = B L^2
Φ(t)=(10 T)(0,15 m)2=10 T⋅0,0225 m2=0,225 Wb\Phi(t) = (10 \text{ T}) (0,15 \text{ m})^2 = 10 \text{ T} \cdot 0,0225 \text{ m}^2 = 0,225 \text{ Wb}

Así, la expresión para el flujo es:

Φ(t)={0,075t Wbpara 0≤t≤3 s0,225 Wbpara 3<t≤5 s\Phi(t) = \begin{cases} 0,075 t \text{ Wb} & \text{para } 0 \leq t \leq 3 \text{ s} \\ 0,225 \text{ Wb} & \text{para } 3 < t \leq 5 \text{ s} \end{cases}

Representación del flujo magnético Φ(t)\Phi(t) entre t=0t=0 y t=5 st=5 \text{ s}:El gráfico mostraría una línea recta con pendiente positiva desde (0,0)(0,0) hasta (3 s,0,225 Wb)(3\text{ s}, 0,225\text{ Wb}), y luego una línea horizontal constante en 0,225 Wb0,225\text{ Wb} hasta t=5 st=5\text{ s}.

ii) La fuerza electromotriz (f.e.m.) inducida en la espira se determina aplicando la Ley de Faraday-Lenz: E=−dΦdt\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}.

1. Para 0≤t≤3 s0 \leq t \leq 3 \text{ s}:

E(t)=−ddt(0,075t)=−0,075 V\mathcal{E}(t) = -\frac{d}{dt} (0,075 t) = -0,075 \text{ V}

2. Para 3<t≤5 s3 < t \leq 5 \text{ s}:

E(t)=−ddt(0,225)=0 V\mathcal{E}(t) = -\frac{d}{dt} (0,225) = 0 \text{ V}

Así, la f.e.m. inducida es:

E(t)={−0,075 Vpara 0≤t≤3 s0 Vpara 3<t≤5 s\mathcal{E}(t) = \begin{cases} -0,075 \text{ V} & \text{para } 0 \leq t \leq 3 \text{ s} \\ 0 \text{ V} & \text{para } 3 < t \leq 5 \text{ s} \end{cases}

El módulo de la f.e.m. inducida es:

∣E(t)∣={0,075 Vpara 0≤t≤3 s0 Vpara 3<t≤5 s|\mathcal{E}(t)| = \begin{cases} 0,075 \text{ V} & \text{para } 0 \leq t \leq 3 \text{ s} \\ 0 \text{ V} & \text{para } 3 < t \leq 5 \text{ s} \end{cases}

Representación del módulo de la f.e.m. inducida ∣E(t)∣|\mathcal{E}(t)| entre t=0t=0 y t=5 st=5 \text{ s}:El gráfico mostraría una línea horizontal constante en 0,075 V0,075\text{ V} desde (0,0,075)(0, 0,075) hasta (3 s,0,075 V)(3\text{ s}, 0,075\text{ V}), y luego una caída a 0 V0\text{ V} manteniéndose en 0 V0\text{ V} hasta t=5 st=5\text{ s}.