Los números cuánticos describen las propiedades de un electrón en un átomo. Son $n$ (número cuántico principal), $l$ (número cuántico del momento angular o azimutal), $m_l$ (número cuántico magnético) y $m_s$ (número cuántico de espín).El número cuántico principal ($n$) determina el nivel de energía del electrón y el tamaño del orbital. Puede tomar valores enteros positivos: $1, 2, 3, ...$. Cuanto mayor es $n$, mayor es la energía del electrón y más grande es el orbital.El número cuántico del momento angular ($l$) describe la forma del orbital y el subnivel de energía. Puede tomar valores enteros desde $0$ hasta $n-1$. Los valores de $l$ corresponden a diferentes tipos de orbitales: $l=0$ para orbitales $s$ (esféricos), $l=1$ para orbitales $p$ (con forma de dos lóbulos), $l=2$ para orbitales $d$ (más complejos), y $l=3$ para orbitales $f$ (aún más complejos).El número cuántico magnético ($m_l$) determina la orientación espacial del orbital dentro de un subnivel. Puede tomar valores enteros desde $-l$ hasta $+l$, incluyendo el $0$. Por lo tanto, para un valor dado de $l$, hay $2l+1$ valores posibles de $m_l$.El número cuántico de espín ($m_s$) describe la orientación del momento angular intrínseco del electrón, es decir, su espín. Solo puede tomar dos valores: $+1/2$ o $-1/2$.

Para el conjunto de números cuánticos $(4,2,0,+1/2)$:El número cuántico principal es $n=4$, el cual es un entero positivo, por lo tanto, es posible.El número cuántico azimutal es $l=2$. Los valores permitidos para $l$ son $0, 1, ..., n-1$. Para $n=4$, $l$ puede ser $0, 1, 2, 3$. Como $l=2$ está dentro de este rango, es posible.El número cuántico magnético es $m_l=0$. Los valores permitidos para $m_l$ son $-l, ..., 0, ..., +l$. Para $l=2$, $m_l$ puede ser $-2, -1, 0, 1, 2$. Como $m_l=0$ está dentro de este rango, es posible.El número cuántico de espín es $m_s=+1/2$. Los valores permitidos para $m_s$ son $+1/2$ o $-1/2$. Como $m_s=+1/2$ es uno de los valores posibles, es posible.Por lo tanto, la combinación $(4,2,0,+1/2)$ es posible.Para el conjunto de números cuánticos $(3,3,2,-1/2)$:El número cuántico principal es $n=3$, el cual es un entero positivo, por lo tanto, es posible.El número cuántico azimutal es $l=3$. Los valores permitidos para $l$ son $0, 1, ..., n-1$. Para $n=3$, $l$ puede ser $0, 1, 2$. Como $l=3$ excede el valor máximo permitido ($n-1=2$), esta combinación no es posible.Por lo tanto, la combinación $(3,3,2,-1/2)$ no es posible.Para el conjunto de números cuánticos $(2,0,1,+1/2)$:El número cuántico principal es $n=2$, el cual es un entero positivo, por lo tanto, es posible.El número cuántico azimutal es $l=0$. Los valores permitidos para $l$ son $0, 1, ..., n-1$. Para $n=2$, $l$ puede ser $0, 1$. Como $l=0$ está dentro de este rango, es posible.El número cuántico magnético es $m_l=1$. Los valores permitidos para $m_l$ son $-l, ..., 0, ..., +l$. Para $l=0$, $m_l$ solo puede ser $0$. Como $m_l=1$ excede el valor máximo permitido, esta combinación no es posible.Por lo tanto, la combinación $(2,0,1,+1/2)$ no es posible.Para el conjunto de números cuánticos $(2,0,0,-1/2)$:El número cuántico principal es $n=2$, el cual es un entero positivo, por lo tanto, es posible.El número cuántico azimutal es $l=0$. Los valores permitidos para $l$ son $0, 1, ..., n-1$. Para $n=2$, $l$ puede ser $0, 1$. Como $l=0$ está dentro de este rango, es posible.El número cuántico magnético es $m_l=0$. Los valores permitidos para $m_l$ son $-l, ..., 0, ..., +l$. Para $l=0$, $m_l$ solo puede ser $0$. Como $m_l=0$ está dentro de este rango, es posible.El número cuántico de espín es $m_s=-1/2$. Los valores permitidos para $m_s$ son $+1/2$ o $-1/2$. Como $m_s=-1/2$ es uno de los valores posibles, es posible.Por lo tanto, la combinación $(2,0,0,-1/2)$ es posible.

Para la combinación $(4,2,0,+1/2)$, $n=4$ y $l=2$. Un valor de $l=2$ corresponde a un orbital tipo $d$. Por lo tanto, el electrón se encuentra en un orbital $4d$.Para la combinación $(2,0,0,-1/2)$, $n=2$ y $l=0$. Un valor de $l=0$ corresponde a un orbital tipo $s$. Por lo tanto, el electrón se encuentra en un orbital $2s$.

Los orbitales posibles son $4d$ y $2s$. La energía de los orbitales en átomos multielectrónicos se rige principalmente por la regla de $(n+l)$ (Principio de Aufbau). A menor valor de $(n+l)$, menor energía. Si dos orbitales tienen el mismo valor de $(n+l)$, el de menor $n$ tiene menor energía.

Comparando los valores de $(n+l)$: el orbital $2s$ tiene un valor de $2$, mientras que el orbital $4d$ tiene un valor de $6$. El orbital $2s$ tiene un valor de $(n+l)$ menor, lo que implica una menor energía.Por lo tanto, el orden creciente de energía de los orbitales es $2s < 4d$.