T6: Física nuclear · Radioactividad — FISICA PEvAU Andalucía 2017

Radioactividad

Problema

2017 · Ordinaria · Reserva

4B-b

b) Se tiene una muestra del isótopo

\ce{^{226}Ra}

cuyo periodo de semidesintegración es de

1600 \text{ años}

. Calcule su constante de desintegración y el tiempo que se requiere para que su actividad se reduzca a la cuarta parte.

Periodo de semidesintegraciónConstante de desintegraciónActividad

b) Cálculo de la constante de desintegración y del tiempo para que la actividad se reduzca a la cuarta parte.

Constante de desintegración

La relación entre la constante de desintegración $\lambda$ y el periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ es:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Sustituyendo $T_{1/2} = 1600 \text{ años}$ :

\lambda = \frac{\ln 2}{1600 \text{ años}} = \frac{0{,}6931}{1600 \text{ años}} \approx 4{,}33 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}

Convirtiendo al Sistema Internacional (en segundos, con $1 \text{ año} \approx 3{,}156 \times 10^7 \text{ s}$ ):

\lambda = \frac{0{,}6931}{1600 \times 3{,}156 \times 10^7 \text{ s}} \approx 1{,}37 \times 10^{-11} \text{ s}^{-1}

Tiempo para que la actividad se reduzca a la cuarta parte

La actividad evoluciona de la misma forma que el número de núcleos, es decir:

A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}

Se requiere que $A(t) = \dfrac{A_0}{4}$ , por tanto:

\frac{A_0}{4} = A_0 \cdot e^{-\lambda t} \implies \frac{1}{4} = e^{-\lambda t}

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros:

\ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\lambda t \implies -\ln 4 = -\lambda t \implies t = \frac{\ln 4}{\lambda}

Nótese que $\ln 4 = 2\ln 2$ , lo que equivale a decir que la actividad se reduce a la mitad dos veces, es decir, transcurren 2 periodos de semidesintegración:

t = \frac{2\ln 2}{\lambda} = 2\, T_{1/2} = 2 \times 1600 \text{ años} = 3200 \text{ años}

Comprobación numérica:

t = \frac{\ln 4}{4{,}33 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}} = \frac{1{,}386}{4{,}33 \times 10^{-4}} \approx 3200 \text{ años}

Por tanto, la actividad de la muestra de $\ce{^{226}Ra}$ se reduce a la cuarta parte transcurridos $\mathbf{3200}$ años.