T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andalucía 2018

Ondas armónicas

Problema

2018 · Ordinaria · Titular

3A-b

Una onda armónica de amplitud $0,3 \text{ m}$ se propaga hacia la derecha por una cuerda con una velocidad de $2 \text{ m s}^{-1}$ y un periodo de $0,125 \text{ s}$ .

b) Determine la ecuación de la onda correspondiente sabiendo que el punto

x = 0 \text{ m}

de la cuerda se encuentra a la máxima altura para el instante inicial, justificando las respuestas.

Ecuación de ondaVelocidad de propagación

b) Ecuación de la onda

La forma general de una onda armónica que se propaga hacia la derecha es:

y(x, t) = A \sin(\omega t - kx + \varphi_0)

Calculamos los parámetros a partir de los datos:Amplitud: $A = 0{,}3 \text{ m}$ Frecuencia angular $\omega$ :

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}125} = 16\pi \approx 50{,}27 \text{ rad s}^{-1}

Número de onda $k$ :

k = \frac{\omega}{v} = \frac{16\pi}{2} = 8\pi \approx 25{,}13 \text{ rad m}^{-1}

También se puede obtener $k$ a partir de la longitud de onda $\lambda$ :

\lambda = v \cdot T = 2 \times 0{,}125 = 0{,}25 \text{ m} \quad \Rightarrow \quad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}25} = 8\pi \text{ rad m}^{-1}

Determinación de la fase inicial $\varphi_0$ : en el instante $t = 0$ y en la posición $x = 0$ , el punto se encuentra a la máxima altura, es decir, $y(0, 0) = A$ :

y(0, 0) = A \sin(\varphi_0) = A \implies \sin(\varphi_0) = 1 \implies \varphi_0 = \frac{\pi}{2}

Sustituyendo todos los valores en la ecuación general:

y(x, t) = 0{,}3 \sin\!\left(16\pi\, t - 8\pi\, x + \frac{\pi}{2}\right) \text{ m}

Esta expresión es equivalente a utilizar el coseno, ya que $\sin(\theta + \pi/2) = \cos(\theta)$ , por lo que también puede escribirse como:

y(x, t) = 0{,}3 \cos\!\left(16\pi\, t - 8\pi\, x\right) \text{ m}

donde $t$ se expresa en segundos y $x$ en metros.