T3: Programación lineal · Optimización de beneficios — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Optimización de beneficios

Problema

2020 · Extraordinaria · Suplente

BLOQUE A

EJERCICIO 1

Un cocinero tiene que hacer el postre para una cena y le han encargado dos de sus mejores creaciones: Delicia Roja y Delicia Negra. Para elaborar 1 kg de Delicia Roja son necesarias 3 tarrinas de fresas y 1 tableta de chocolate y para elaborar 1 kg de Delicia Negra se necesita 1 tarrina de fresas y 2 tabletas de chocolate. Dispone de 15 tarrinas de fresas y 10 tabletas de chocolate. Además, la cantidad de Delicia Negra no debe ser inferior a $1.5 \text{ kg}$ y tampoco debe ser superior al doble de Delicia Roja. Si cada kilogramo de Delicia Roja le reporta un beneficio de 3 euros y el de Delicia Negra 5 euros, averigüe qué cantidad de cada postre debe elaborar para conseguir un beneficio máximo y a cuánto asciende ese beneficio.

Programación linealOptimizaciónRestricciones

Resolución del problema de programación lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema basándonos en las cantidades de postre a elaborar:

x = \text{kilogramos de Delicia Roja a producir.}

y = \text{kilogramos de Delicia Negra a producir.}

A continuación, planteamos la función objetivo, que representa el beneficio total a maximizar, y el sistema de restricciones derivado de los recursos disponibles y las condiciones de producción:Función objetivo: $f(x, y) = 3x + 5y$ Restricciones:

Disponibilidad de fresas:

3x + y \le 15

Disponibilidad de chocolate:

x + 2y \le 10

Cantidad mínima de Delicia Negra:

y \ge 1.5

Relación entre postres:

y \le 2x \implies 2x - y \ge 0

Condiciones de no negatividad:

x \ge 0, y \ge 0

Para hallar la región factible, calculamos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por la intersección de las rectas correspondientes a las restricciones:

Vértice

A

: Intersección de

y = 1.5

y = 2x \implies 1.5 = 2x \implies x = 0.75

. Punto

A(0.75, 1.5)

.Vértice

B

: Intersección de

y = 1.5

3x + y = 15 \implies 3x + 1.5 = 15 \implies 3x = 13.5 \implies x = 4.5

. Punto

B(4.5, 1.5)

.Vértice

C

: Intersección de

3x + y = 15

x + 2y = 10

. Multiplicando la primera por

-2

-6x - 2y = -30

. Sumando:

-5x = -20 \implies x = 4

. Sustituyendo:

3(4) + y = 15 \implies y = 3

. Punto

C(4, 3)

.Vértice

D

: Intersección de

x + 2y = 10

y = 2x \implies x + 2(2x) = 10 \implies 5x = 10 \implies x = 2

. Sustituyendo:

y = 2(2) = 4

. Punto

D(2, 4)

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 3x + 5y$ en cada uno de los vértices para encontrar el beneficio máximo:

f(A) = f(0.75, 1.5) = 3(0.75) + 5(1.5) = 2.25 + 7.5 = 9.75 \text{ \,\text{euros}}

f(B) = f(4.5, 1.5) = 3(4.5) + 5(1.5) = 13.5 + 7.5 = 21 \text{ \,\text{euros}}

f(C) = f(4, 3) = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27 \text{ \,\text{euros}}

f(D) = f(2, 4) = 3(2) + 5(4) = 6 + 20 = 26 \text{ \,\text{euros}}

El beneficio máximo se alcanza en el punto $C(4, 3)$ . Por lo tanto, el cocinero debe elaborar $4 \text{ kg}$ de Delicia Roja y $3 \text{ kg}$ de Delicia Negra para obtener un beneficio máximo de $27 \text{ \,\text{euros}}$ .