T5: Física moderna · Mecánica cuántica — FISICA PEvAU Andalucía 2021

Mecánica cuántica

Teoría

2021 · Ordinaria · Titular

D2-a

a) Un protón y un electrón son acelerados por una misma diferencia de potencial en una cierta región del espacio. Indique de forma razonada, teniendo en cuenta que la masa del protón es mucho mayor que la del electrón, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:i) “El protón y el electrón poseen la misma longitud de onda de De Broglie asociada”.ii) “Ambos se mueven con la misma velocidad”.

Hipótesis de De BroglieDualidad onda-corpúsculoEnergía cinética

a) i) “El protón y el electrón poseen la misma longitud de onda de De Broglie asociada”.

Falsa.Ambas partículas, protón y electrón, son aceleradas por la misma diferencia de potencial $\Delta V$ . Esto significa que la energía cinética adquirida por cada una es igual a la variación de su energía potencial eléctrica. Dado que la magnitud de la carga del protón ( $e$ ) y del electrón ( $-e$ ) es la misma, la energía cinética final de ambas partículas será la misma (si parten del reposo o con la misma energía inicial):

E_k = q \Delta V

Como $q_{protón} = q_{electrón} = e$ , entonces:

E_{k,protón} = E_{k,electrón}

La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula se define como:

\lambda = \frac{h}{p}

donde $h$ es la constante de Planck y $p$ es el módulo del momento lineal. El momento lineal se relaciona con la energía cinética mediante la expresión:

E_k = \frac{p^2}{2m} \implies p = \sqrt{2mE_k}

Sustituyendo el momento en la expresión de De Broglie:

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}

Dado que $E_{k,protón} = E_{k,electrón}$ y $h$ es una constante, la longitud de onda de De Broglie depende inversamente de la raíz cuadrada de la masa de la partícula. Como la masa del protón es mucho mayor que la masa del electrón ( $m_p \gg m_e$ ), el protón tendrá una longitud de onda de De Broglie mucho menor que el electrón:

\lambda_{protón} = \frac{h}{\sqrt{2m_p E_k}} \quad \text{y} \quad \lambda_{electrón} = \frac{h}{\sqrt{2m_e E_k}}

Por lo tanto, la afirmación es falsa.

a) ii) “Ambos se mueven con la misma velocidad”.

Falsa.Como se demostró en el apartado anterior, la energía cinética adquirida por ambas partículas es la misma ( $E_{k,protón} = E_{k,electrón}$ ). La energía cinética se expresa como:

E_k = \frac{1}{2}mv^2

Igualando las energías cinéticas:

\frac{1}{2}m_p v_p^2 = \frac{1}{2}m_e v_e^2

Simplificando los $1/2$ :

m_p v_p^2 = m_e v_e^2

Despejando las velocidades cuadradas:

\frac{v_p^2}{v_e^2} = \frac{m_e}{m_p}

Tomando la raíz cuadrada a ambos lados:

\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}}

Dado que la masa del protón es mucho mayor que la del electrón ( $m_p \gg m_e$ ), la relación $m_e/m_p$ es un número muy pequeño y, por lo tanto, la relación $v_p/v_e$ también será muy pequeña, lo que implica que $v_e \gg v_p$ . El electrón, al tener mucha menos masa, deberá moverse con una velocidad mucho mayor para tener la misma energía cinética que el protón.Por lo tanto, la afirmación es falsa.