T2: Interacción electromagnética

Campo eléctrico

Problema

2018 · Ordinaria · Reserva

2B-b

b) Una esfera metálica de

24\text{ g}

de masa colgada de un hilo muy fino de masa despreciable, se encuentra en una región del espacio donde existe un campo eléctrico uniforme y horizontal. Al cargar la esfera con

6 \cdot 10^{-3} \text{ C}

, sufre una fuerza debida al campo eléctrico que hace que el hilo forme un ángulo de

30^\circ

con la vertical. (i) Represente gráficamente esta situación y haga un diagrama que muestre todas las fuerzas que actúan sobre la esfera; (ii) calcule el valor del campo eléctrico y la tensión del hilo.

Dato: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

equilibrio de fuerzastensión del hilocampo uniforme

b) Esfera metálica cargada en campo eléctrico horizontal

Datos del problema:Masa: $m = 24 \text{ g} = 0{,}024 \text{ kg}$ , carga: $q = 6 \cdot 10^{-3} \text{ C}$ , ángulo con la vertical: $\theta = 30^\circ$ , $g = 9{,}8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

(i) Diagrama de fuerzas sobre la esfera:

Las tres fuerzas que actúan sobre la esfera son:

1) Peso

P = mg

, vertical hacia abajo.2) Tensión

T

en el hilo, dirigida a lo largo del hilo hacia el punto de suspensión (forma

30^\circ

con la vertical).3) Fuerza eléctrica

F_E = qE

, horizontal (en la dirección del campo eléctrico uniforme).(ii) Cálculo del campo eléctrico y la tensión:

Como la esfera está en equilibrio, la suma de fuerzas es nula. Descomponemos en ejes horizontal y vertical:Eje vertical (y):

T \cos\theta - mg = 0 \implies T \cos 30^\circ = mg

Eje horizontal (x):

T \sin\theta - F_E = 0 \implies T \sin 30^\circ = qE

Dividiendo la ecuación horizontal entre la vertical (para eliminar $T$ ):

\frac{T \sin 30^\circ}{T \cos 30^\circ} = \frac{qE}{mg} \implies \tan 30^\circ = \frac{qE}{mg}

Despejando el campo eléctrico $E$ :

E = \frac{mg \cdot \tan 30^\circ}{q} = \frac{0{,}024 \times 9{,}8 \times \tan 30^\circ}{6 \cdot 10^{-3}}

E = \frac{0{,}024 \times 9{,}8 \times 0{,}5774}{6 \cdot 10^{-3}} = \frac{0{,}13578}{6 \cdot 10^{-3}} \approx 22{,}6 \text{ N/C}

Calculando la tensión $T$ a partir de la ecuación vertical:

T = \frac{mg}{\cos 30^\circ} = \frac{0{,}024 \times 9{,}8}{\cos 30^\circ} = \frac{0{,}2352}{0{,}8660} \approx 0{,}272 \text{ N}

Resultados finales:

Campo eléctrico:

E \approx 22{,}6 \text{ N/C}

(horizontal)Tensión del hilo:

T \approx 0{,}272 \text{ N}