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T1: Interacción gravitatoria
Campo gravitatorio
Problema
2020 · Extraordinaria · Titular
5-b
Examen

Un satélite de 500 kg500 \text{ kg} de masa orbita en torno a la Tierra a una velocidad de 6300 m s−16300 \text{ m s}^{-1}.

b) Calcule: i) El radio de la órbita del satélite. ii) El peso del satélite en la órbita.

Datos: G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2; MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}

ÓrbitaPesoLey de gravitación universal
b) Calcule: i) El radio de la órbita del satélite. ii) El peso del satélite en la órbita.
M_TmFgv

i) Para calcular el radio de la órbita del satélite, consideramos que la fuerza gravitatoria entre la Tierra y el satélite proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener al satélite en su órbita circular.

Fg=FcF_g = F_c
GMTmsR2=msv2RG \frac{M_T m_s}{R^2} = \frac{m_s v^2}{R}

Podemos simplificar la masa del satélite (msm_s) y un factor de RR:

GMTR=v2G \frac{M_T}{R} = v^2

Despejamos el radio RR:

R=GMTv2R = \frac{G M_T}{v^2}

Sustituimos los valores dados:

R=(6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2)⋅(5,98⋅1024 kg)(6300 m/s)2R = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \cdot (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg})}{(6300 \text{ m/s})^2}
R=3,98866⋅1014 N⋅m2/kg3,969⋅107 m2/s2R = \frac{3,98866 \cdot 10^{14} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}}{3,969 \cdot 10^7 \text{ m}^2 / \text{s}^2}
R≈1,004978⋅107 mR \approx 1,004978 \cdot 10^7 \text{ m}

El radio de la órbita del satélite es:

R≈1,00⋅107 mR \approx 1,00 \cdot 10^7 \text{ m}

ii) El peso del satélite en la órbita es la magnitud de la fuerza gravitatoria que actúa sobre él a esa distancia.

Porbita=Fg=GMTmsR2P_{orbita} = F_g = G \frac{M_T m_s}{R^2}

Sustituimos los valores, utilizando el valor de RR calculado:

Porbita=(6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2)(5,98⋅1024 kg)⋅(500 kg)(1,004978⋅107 m)2P_{orbita} = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \frac{(5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}) \cdot (500 \text{ kg})}{(1,004978 \cdot 10^7 \text{ m})^2}
Porbita=(6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2)2,99⋅1027 kg21,009970⋅1014 m2P_{orbita} = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \frac{2,99 \cdot 10^{27} \text{ kg}^2}{1,009970 \cdot 10^{14} \text{ m}^2}
Porbita=6,67⋅10−11⋅2,9604⋅1013 NP_{orbita} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 2,9604 \cdot 10^{13} \text{ N}
Porbita≈1974,54 NP_{orbita} \approx 1974,54 \text{ N}

El peso del satélite en la órbita es aproximadamente:

Porbita≈1,97⋅103 NP_{orbita} \approx 1,97 \cdot 10^3 \text{ N}