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T2: Interacción electromagnética
Campo eléctrico
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
B1-b
Examen

Dos partículas idénticas con carga positiva, situadas en los puntos A(0,0) mA(0,0)\text{ m} y B(2,0) mB(2,0)\text{ m}, generan un potencial eléctrico en el punto C(1,1) mC(1,1)\text{ m} de 1000 V1000\text{ V}. Determine:

b) i) el valor de la carga de las partículas.ii) el vector campo eléctrico en el punto C(1,1) mC(1,1)\text{ m}.

Dato: K=9⋅109 N⋅m2⋅C−2K = 9\cdot10^{9}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}

Potencial eléctricoCampo eléctrico vectorialCargas puntuales
b) i) el valor de la carga de las partículas.

Primero, calculamos las distancias de las cargas al punto C.

rAC=(xC−xA)2+(yC−yA)2=(1−0)2+(1−0)2=12+12=2 mr_{AC} = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\text{ m}
rBC=(xC−xB)2+(yC−yB)2=(1−2)2+(1−0)2=(−1)2+12=1+1=2 mr_{BC} = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(1-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}\text{ m}

Dado que las partículas son idénticas con carga positiva, asumimos qA=qB=qq_A = q_B = q. El potencial eléctrico total en el punto C es la suma de los potenciales generados por cada carga:

VC=VA+VB=KqArAC+KqBrBCV_C = V_A + V_B = K\frac{q_A}{r_{AC}} + K\frac{q_B}{r_{BC}}

Sustituyendo qA=qB=qq_A = q_B = q y rAC=rBC=2 mr_{AC} = r_{BC} = \sqrt{2}\text{ m}:

VC=2KqrACV_C = 2K\frac{q}{r_{AC}}

Despejamos el valor de la carga qq:

q=VC⋅rAC2Kq = \frac{V_C \cdot r_{AC}}{2K}

Sustituimos los valores dados (VC=1000 VV_C = 1000\text{ V}, rAC=2 mr_{AC} = \sqrt{2}\text{ m}, K=9⋅109 N⋅m2⋅C−2K = 9\cdot10^{9}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}):

q=1000 V⋅2 m2⋅(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)=1000⋅1.41421.8⋅1010 Cq = \frac{1000\text{ V} \cdot \sqrt{2}\text{ m}}{2 \cdot (9\cdot10^{9}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2})} = \frac{1000 \cdot 1.4142}{1.8\cdot10^{10}}\text{ C}
q≈1414.21.8⋅1010 C≈7.857⋅10−8 Cq \approx \frac{1414.2}{1.8\cdot10^{10}}\text{ C} \approx 7.857 \cdot 10^{-8}\text{ C}
b) ii) el vector campo eléctrico en el punto C(1,1) mC(1,1)\text{ m}.

El campo eléctrico en el punto C es la suma vectorial de los campos eléctricos generados por cada carga:

E⃗C=E⃗A+E⃗B\vec{E}_C = \vec{E}_A + \vec{E}_B

La fórmula general para el campo eléctrico generado por una carga puntual es E⃗=Kqr2r^\vec{E} = K\frac{q}{r^2}\hat{r}, donde r^\hat{r} es el vector unitario que apunta desde la carga hacia el punto donde se calcula el campo.Calculamos los vectores posición y unitarios desde cada carga hasta el punto C:

r⃗AC=(xC−xA)i^+(yC−yA)j^=(1−0)i^+(1−0)j^=(1i^+1j^) m\vec{r}_{AC} = (x_C - x_A)\hat{i} + (y_C - y_A)\hat{j} = (1-0)\hat{i} + (1-0)\hat{j} = (1\hat{i} + 1\hat{j})\text{ m}
r^AC=r⃗AC∣r⃗AC∣=1i^+1j^2=(12i^+12j^)\hat{r}_{AC} = \frac{\vec{r}_{AC}}{|\vec{r}_{AC}|} = \frac{1\hat{i} + 1\hat{j}}{\sqrt{2}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\right)
r⃗BC=(xC−xB)i^+(yC−yB)j^=(1−2)i^+(1−0)j^=(−1i^+1j^) m\vec{r}_{BC} = (x_C - x_B)\hat{i} + (y_C - y_B)\hat{j} = (1-2)\hat{i} + (1-0)\hat{j} = (-1\hat{i} + 1\hat{j})\text{ m}
r^BC=r⃗BC∣r⃗BC∣=−1i^+1j^2=(−12i^+12j^)\hat{r}_{BC} = \frac{\vec{r}_{BC}}{|\vec{r}_{BC}|} = \frac{-1\hat{i} + 1\hat{j}}{\sqrt{2}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\right)

Calculamos el campo eléctrico E⃗A\vec{E}_A debido a la carga qAq_A en el punto C:

E⃗A=KqrAC2r^AC\vec{E}_A = K\frac{q}{r_{AC}^2}\hat{r}_{AC}
E⃗A=(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)7.857⋅10−8 C(2 m)2(12i^+12j^)\vec{E}_A = (9\cdot10^{9}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}) \frac{7.857\cdot10^{-8}\text{ C}}{(\sqrt{2}\text{ m})^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\right)
E⃗A=(9⋅109)7.857⋅10−82(12i^+12j^) N/C\vec{E}_A = (9\cdot10^{9}) \frac{7.857\cdot10^{-8}}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\right)\text{ N/C}
E⃗A≈353.56 N/C(12i^+12j^)≈(250i^+250j^) N/C\vec{E}_A \approx 353.56\text{ N/C} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\right) \approx (250\hat{i} + 250\hat{j})\text{ N/C}

Calculamos el campo eléctrico E⃗B\vec{E}_B debido a la carga qBq_B en el punto C:

E⃗B=KqrBC2r^BC\vec{E}_B = K\frac{q}{r_{BC}^2}\hat{r}_{BC}
E⃗B=(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)7.857⋅10−8 C(2 m)2(−12i^+12j^)\vec{E}_B = (9\cdot10^{9}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}) \frac{7.857\cdot10^{-8}\text{ C}}{(\sqrt{2}\text{ m})^2} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\right)
E⃗B≈353.56 N/C(−12i^+12j^)≈(−250i^+250j^) N/C\vec{E}_B \approx 353.56\text{ N/C} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\right) \approx (-250\hat{i} + 250\hat{j})\text{ N/C}

Finalmente, sumamos los vectores campo eléctrico para obtener el campo total en C:

E⃗C=(250i^+250j^) N/C+(−250i^+250j^) N/C\vec{E}_C = (250\hat{i} + 250\hat{j})\text{ N/C} + (-250\hat{i} + 250\hat{j})\text{ N/C}
E⃗C=(250−250)i^+(250+250)j^ N/C\vec{E}_C = (250 - 250)\hat{i} + (250 + 250)\hat{j}\text{ N/C}
E⃗C=(0i^+500j^) N/C=500j^ N/C\vec{E}_C = (0\hat{i} + 500\hat{j})\text{ N/C} = 500\hat{j}\text{ N/C}

El siguiente diagrama ilustra la configuración de las cargas y el campo eléctrico resultante en el punto C.

XY+$q_A$+$q_B$CE1E2E_neta