T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes

Problema

2020 · Extraordinaria · Reserva

BLOQUE C

Se sabe que el $65 \%$ de los estudiantes de bachillerato de Andalucía ha participado en programas Erasmus+ y que de ellos, el $80 \ \%$ ha mejorado su calificación en lengua extranjera. De los estudiantes que no han participado en programas Erasmus+, mejoran su calificación en lengua extranjera el $30 \ \%$ . Se elige al azar un estudiante de bachillerato de Andalucía.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya mejorado su calificación en lengua extranjera?b) Si se sabe que ha mejorado su calificación en lengua extranjera, ¿cuál es la probabilidad de que haya participado en un programa Erasmus+?

Probabilidad totalTeorema de BayesDiagrama de árbol

Resolución del Problema de Probabilidad

Definimos los sucesos del enunciado para formalizar el estudio: $E$ : El estudiante ha participado en programas Erasmus+. $M$ : El estudiante ha mejorado su calificación en lengua extranjera.A partir de los datos del problema, identificamos las siguientes probabilidades:

P(E) = 0,65 \implies P(E^c) = 1 - 0,65 = 0,35

P(M|E) = 0,80

P(M|E^c) = 0,30

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya mejorado su calificación en lengua extranjera?

Para calcular la probabilidad de que el estudiante haya mejorado su calificación, $P(M)$ , aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total considerando si participó o no en el programa Erasmus+:

P(M) = P(E) \cdot P(M|E) + P(E^c) \cdot P(M|E^c)

Sustituyendo los valores numéricos proporcionados:

P(M) = 0,65 \cdot 0,80 + 0,35 \cdot 0,30

P(M) = 0,52 + 0,105 = 0,625

b) Si se sabe que ha mejorado su calificación en lengua extranjera, ¿cuál es la probabilidad de que haya participado en un programa Erasmus+?

En este caso, conocemos que el estudiante ha mejorado su calificación y queremos hallar la probabilidad de que pertenezca al grupo de Erasmus+. Aplicamos el Teorema de Bayes para calcular la probabilidad condicionada $P(E|M)$ :

P(E|M) = \frac{P(E \cap M)}{P(M)} = \frac{P(E) \cdot P(M|E)}{P(M)}

Utilizamos los valores obtenidos en el apartado anterior:

P(E|M) = \frac{0,65 \cdot 0,80}{0,625} = \frac{0,52}{0,625}

P(E|M) = 0,832