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T2: Interacción electromagnética
Campo eléctrico
Problema
2023 · Extraordinaria · Reserva
B1-b
Examen
b) En una región del espacio existe un campo eléctrico uniforme de 2⋅105 V/m2 \cdot 10^5 \text{ V/m} en el sentido positivo del eje OYOY. Para un protón que se encuentra inicialmente en reposo en un punto de dicha región, calcule: i) la fuerza que actúa sobre el protón; ii) el trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando el protón ha recorrido una distancia de 5⋅10−2 m5 \cdot 10^{-2} \text{ m}; iii) la velocidad final tras recorrer dicha distancia.

Datos: mp=1,7⋅10−27 kg;e=1,6⋅10−19 Cm_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}

Fuerza eléctricaTrabajoEnergía cinética
b) i) Calcule la fuerza que actúa sobre el protón.
XY+p+

La fuerza eléctrica F⃗\vec{F} que actúa sobre una carga puntual qq en el seno de un campo eléctrico uniforme E⃗\vec{E} viene determinada por la expresión vectorial:

F⃗=q⋅E⃗\vec{F} = q \cdot \vec{E}

Sustituyendo los valores del protón (q=+1,6⋅10−19 Cq = +1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) y el campo eléctrico dado (E⃗=2⋅105j⃗ V/m\vec{E} = 2 \cdot 10^5 \vec{j} \text{ V/m}):

F⃗=(1,6⋅10−19 C)⋅(2⋅105j⃗ N/C)=3,2⋅10−14j⃗ N\vec{F} = (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (2 \cdot 10^5 \vec{j} \text{ N/C}) = 3,2 \cdot 10^{-14} \vec{j} \text{ N}
ii) Calcule el trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando el protón ha recorrido una distancia de 5⋅10−2 m5 \cdot 10^{-2} \text{ m}.

El trabajo WW realizado por una fuerza constante a lo largo de un desplazamiento Δr⃗\Delta \vec{r} se define como el producto escalar de ambos vectores. Dado que el protón se mueve en la misma dirección y sentido que la fuerza (eje OYOY positivo):

W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = F \cdot d \cdot \cos(0^\circ)

Sustituyendo el módulo de la fuerza calculada en el apartado anterior y la distancia recorrida d=5⋅10−2 md = 5 \cdot 10^{-2} \text{ m}:

W=(3,2⋅10−14 N)⋅(5⋅10−2 m)=1,6⋅10−15 JW = (3,2 \cdot 10^{-14} \text{ N}) \cdot (5 \cdot 10^{-2} \text{ m}) = 1,6 \cdot 10^{-15} \text{ J}
iii) Calcule la velocidad final tras recorrer dicha distancia.

De acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas o teorema de la energía cinética, el trabajo total realizado sobre el protón es igual a la variación de su energía cinética:

W=ΔEc=12mvf2−12mv02W = \Delta E_c = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_0^2

Puesto que el protón se encuentra inicialmente en reposo (v0=0 m/sv_0 = 0 \text{ m/s}), podemos despejar la velocidad final vfv_f de la siguiente forma:

vf=2Wmv_f = \sqrt{\frac{2W}{m}}

Introduciendo los datos de la masa del protón (mp=1,7⋅10−27 kgm_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) y el trabajo obtenido anteriormente:

vf=2⋅1,6⋅10−15 J1,7⋅10−27 kg≈1,37⋅106 m/sv_f = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-15} \text{ J}}{1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}} \approx 1,37 \cdot 10^6 \text{ m/s}