T1: Interacción gravitatoria

Velocidad orbital

Problema

2017 · Extraordinaria · Suplente

1B-b

La Luna describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Si se supone que la Tierra se encuentra en reposo,

b) calcule la velocidad de la Luna en su órbita y su periodo orbital.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}; D_{\text{Tierra-Luna}} = 3,84 \cdot 10^8 \text{ m}$

Órbita circularPeriodo orbital

b) Velocidad orbital y periodo de la Luna

Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria:

F_G = F_c \Rightarrow \frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

Simplificando la masa de la Luna $m$ y despejando la velocidad orbital $v$ :

v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}

Sustituyendo los datos con $r = D_{\text{Tierra-Luna}} = 3{,}84 \cdot 10^8 \text{ m}$ :

v = \sqrt{\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 5{,}97 \cdot 10^{24}}{3{,}84 \cdot 10^8}}

v = \sqrt{\frac{3{,}982 \cdot 10^{14}}{3{,}84 \cdot 10^8}} = \sqrt{1{,}037 \cdot 10^6} \approx 1018 \text{ m/s} \approx 1{,}02 \cdot 10^3 \text{ m/s}

Para el periodo orbital $T$ , la Luna recorre la circunferencia $2\pi r$ a velocidad $v$ :

T = \frac{2\pi r}{v}

Sustituyendo valores:

T = \frac{2\pi \times 3{,}84 \cdot 10^8}{1018} = \frac{2{,}412 \cdot 10^9}{1018} \approx 2{,}37 \cdot 10^6 \text{ s}

Convirtiendo a días: $T = \dfrac{2{,}37 \cdot 10^6}{86400} \approx 27{,}4 \text{ días}$ , resultado coherente con el periodo real de la Luna (~27,3 días).Resultados finales:

v \approx 1{,}02 \cdot 10^3 \text{ m/s} \qquad T \approx 2{,}37 \cdot 10^6 \text{ s} \approx 27{,}4 \text{ días}