T4: Funciones · Curvatura e integral definida — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2021

Curvatura e integral definida

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 3

Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por:

f(x) = 1 + \int_0^x t e^t dt

Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

AnálisisTeorema fundamental del cálculoCurvatura+1

Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de inflexión de la función $f(x)$ , necesitamos calcular su segunda derivada $f''(x)$ .

1. Cálculo de la primera derivada $f'(x)$

La función está definida como $f(x) = 1 + \int_0^x t e^t dt$ . Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada de una integral definida con límite superior variable es el integrando evaluado en ese límite.

f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \int_0^x t e^t dt \right)

f'(x) = 0 + x e^x

f'(x) = x e^x

2. Cálculo de la segunda derivada $f''(x)$

Ahora, derivamos $f'(x)$ usando la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$ .

f''(x) = \frac{d}{dx} (x e^x)

f''(x) = (1) e^x + x (e^x)

f''(x) = e^x (1 + x)

3. Puntos críticos para la concavidad (posibles puntos de inflexión)

Igualamos la segunda derivada a cero para encontrar los posibles puntos de inflexión.

e^x (1 + x) = 0

Dado que $e^x$ es siempre positivo para cualquier $x \in \mathbb{R}$ , el factor $e^x$ nunca es cero. Por lo tanto, debemos tener:

1 + x = 0 \implies x = -1

Este es el único posible punto de inflexión. Ahora, analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos determinados por $x = -1$ .

4. Intervalos de concavidad y convexidad

a) Intervalo

(-\infty, -1)

Tomamos un valor de prueba, por ejemplo, $x = -2$ .

f''(-2) = e^{-2} (1 + (-2)) = e^{-2} (-1) = -e^{-2}

Como $f''(-2) < 0$ , la función $f(x)$ es cóncava (hacia abajo) en el intervalo $(-\infty, -1)$ .

b) Intervalo

(-1, \infty)

Tomamos un valor de prueba, por ejemplo, $x = 0$ .

f''(0) = e^{0} (1 + 0) = 1 (1) = 1

Como $f''(0) > 0$ , la función $f(x)$ es convexa (hacia arriba) en el intervalo $(-1, \infty)$ .

5. Puntos de inflexión

Dado que la concavidad de la función cambia en $x = -1$ , este es un punto de inflexión. Calculamos el valor de la función en $x = -1$ .

f(-1) = 1 + \int_0^{-1} t e^t dt

Podemos reescribir la integral como:

f(-1) = 1 - \int_{-1}^{0} t e^t dt

Para resolver la integral $\int t e^t dt$ , usamos integración por partes: $\int u dv = uv - \int v du$ . Sea $u = t$ y $dv = e^t dt$ , entonces $du = dt$ y $v = e^t$ .

\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t = e^t (t - 1)

Ahora evaluamos la integral definida:

\int_{-1}^{0} t e^t dt = [e^t (t - 1)]_{-1}^{0}

= [e^0 (0 - 1)] - [e^{-1} (-1 - 1)]

= [1 (-1)] - [e^{-1} (-2)]

= -1 - (-2e^{-1}) = -1 + \frac{2}{e}

Sustituimos este valor en la expresión de $f(-1)$ :

f(-1) = 1 - \left( -1 + \frac{2}{e} \right) = 1 + 1 - \frac{2}{e} = 2 - \frac{2}{e}

Resumen de los resultados

a) Intervalos de concavidad y convexidad:

La función $f(x)$ es cóncava en $(-\infty, -1)$ .La función $f(x)$ es convexa en $(-1, \infty)$ .

b) Puntos de inflexión:

La función tiene un punto de inflexión en la abscisa $x = -1$ y el valor que se alcanza es $f(-1) = 2 - \frac{2}{e}$ .