El área de un triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ se puede calcular mediante la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$:

Primero, determinamos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ a partir de las coordenadas de los puntos $A(3, -1, 1)$, $B(1, 3, -3)$ y $C(-2, -2, 1)$:

Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$:

Hallamos el módulo de este vector:

Finalmente, el área del triángulo es:

Un punto $D$ perteneciente al eje $OZ$ tiene coordenadas de la forma $D(0, 0, z)$. El volumen de un tetraedro se define como un sexto del valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$:

Calculamos el vector $\vec{AD}$:

El producto mixto $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$ se puede calcular como el producto escalar del vector $(\vec{AB} \times \vec{AC})$, ya obtenido anteriormente, por el vector $\vec{AD}$:

Aplicamos la condición del volumen:

Esto genera dos posibles ecuaciones:1) $10 + 22z = 120 \implies 22z = 110 \implies z = 5$. El primer punto es $D_1(0, 0, 5)$.2) $10 + 22z = -120 \implies 22z = -130 \implies z = -\frac{130}{22} = -\frac{65}{11}$. El segundo punto es $D_2(0, 0, -\frac{65}{11})$.