T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andalucía 2020

Ondas armónicas

Problema

2020 · Ordinaria · Suplente

7-b

7. b) Una onda armónica que se propaga por una cuerda en el sentido negativo del eje OX tiene una longitud de onda de {{long_onda}} m, y en el instante inicial la elongación en el foco es nula. El foco emisor vibra con una frecuencia de {{frecuencia}} Hz y una amplitud de {{amplitud}} m. i) Escriba la ecuación de la onda explicando el razonamiento seguido para ello. ii) Calcule la ecuación de la velocidad de oscilación e indique el valor máximo de dicha velocidad.

Ecuación de ondaVelocidad de oscilación

i) Ecuación de la onda

La ecuación general de una onda armónica que se propaga en el sentido negativo del eje OX es:

y(x,t) = A \sin(\omega t + kx + \phi_0)

Donde $A$ es la amplitud, $\omega$ la frecuencia angular, $k$ el número de onda y $\phi_0$ la fase inicial.Datos proporcionados:Amplitud: $A = 0.1 \text{ m}$ Frecuencia: $f = 5 \text{ Hz}$ Longitud de onda: $\lambda = 2 \text{ m}$ Calculamos la frecuencia angular $\omega$ :

\omega = 2\pi f

\omega = 2\pi (5 \text{ Hz}) = 10\pi \text{ rad/s}

Calculamos el número de onda $k$ :

k = \frac{2\pi}{\lambda}

k = \frac{2\pi}{2 \text{ m}} = \pi \text{ rad/m}

Para determinar la fase inicial $\phi_0$ , utilizamos la condición de que en el instante inicial ( $t=0$ ) la elongación en el foco ( $x=0$ ) es nula ( $y(0,0)=0$ ):

y(0,0) = A \sin(\omega (0) + k (0) + \phi_0) = 0

A \sin(\phi_0) = 0

Dado que $A \neq 0$ , debe cumplirse que $\sin(\phi_0) = 0$ . Esto implica que $\phi_0 = 0$ o $\phi_0 = \pi$ . Por convención, en ausencia de más información sobre el sentido de la velocidad inicial, elegimos $\phi_0 = 0$ .Sustituyendo todos los valores en la ecuación general de la onda:

y(x,t) = 0.1 \sin(10\pi t + \pi x)

La ecuación de la onda es $y(x,t) = 0.1 \sin(10\pi t + \pi x)$ , donde $y$ y $x$ se miden en metros, y $t$ en segundos.

ii) Ecuación de la velocidad de oscilación y valor máximo

La velocidad de oscilación $v_y(x,t)$ de un punto de la cuerda se obtiene derivando la ecuación de la onda con respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y(x,t)}{\partial t}

v_y(x,t) = \frac{\partial}{\partial t} [0.1 \sin(10\pi t + \pi x)]

v_y(x,t) = 0.1 \cdot (10\pi) \cos(10\pi t + \pi x)

v_y(x,t) = \pi \cos(10\pi t + \pi x) \text{ m/s}

El valor máximo de la velocidad de oscilación se produce cuando $\cos(10\pi t + \pi x) = \pm 1$ . Por lo tanto, la velocidad máxima es:

v_{max} = A\omega

v_{max} = (0.1 \text{ m}) \cdot (10\pi \text{ rad/s})

v_{max} = \pi \text{ m/s}

El valor máximo de la velocidad de oscilación es $\pi \text{ m/s}$ (aproximadamente $3.14 \text{ m/s}$ ). Los valores pueden ser positivos o negativos dependiendo del signo del coseno, pero el valor máximo de la rapidez es $\pi \text{ m/s}$ .