T5: Integrales · Integrales indefinidas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Integrales indefinidas

Problema

2022 · Ordinaria · Titular

EJERCICIO 3

Calcula

\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx

PrimitivaFracciones racionales

Cálculo de la integral $\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx$

Dado que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, realizamos la división de polinomios:

\frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} = 2x + \frac{2x + 7}{x^2 + x - 2}

Así, la integral se puede reescribir como:

\int \left( 2x + \frac{2x + 7}{x^2 + x - 2} \right) dx = \int 2x \, dx + \int \frac{2x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx

Resolvemos la primera parte de la integral:

\int 2x \, dx = x^2 + C_1

Ahora, resolvemos la segunda parte utilizando fracciones parciales. Primero factorizamos el denominador $x^2 + x - 2$ :

x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)

Descomponemos la fracción en sus fracciones parciales:

\frac{2x + 7}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}

Multiplicamos ambos lados por $(x - 1)(x + 2)$ para obtener:

2x + 7 = A(x + 2) + B(x - 1)

Para encontrar $A$ , hacemos $x = 1$ :

2(1) + 7 = A(1 + 2) + B(1 - 1) \\ 9 = 3A \\ A = 3

Para encontrar $B$ , hacemos $x = -2$ :

2(-2) + 7 = A(-2 + 2) + B(-2 - 1) \\ -4 + 7 = -3B \\ 3 = -3B \\ B = -1

Sustituimos los valores de $A$ y $B$ en la descomposición de fracciones parciales:

\frac{2x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{3}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}

Ahora integramos esta expresión:

\int \left( \frac{3}{x - 1} - \frac{1}{x + 2} \right) dx = 3 \int \frac{1}{x - 1} dx - \int \frac{1}{x + 2} dx \\ = 3 \ln|x - 1| - \ln|x + 2| + C_2

Finalmente, combinamos ambos resultados para obtener la integral completa:

\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx = x^2 + 3 \ln|x - 1| - \ln|x + 2| + C

Donde $C = C_1 + C_2$ es la constante de integración.