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T3: Programación lineal
Región factible y optimización
Problema
2021 · Extraordinaria · Titular
2
Examen

Se consideran las siguientes inecuaciones:

5x−4y≤−193x−4y≤−13x≥−7−x−y≥25x - 4y \le -19 \quad 3x - 4y \le -13 \quad x \ge -7 \quad -x - y \ge 2
a) Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices.b) ¿Cuáles son los puntos en los que se alcanzan el mínimo y el máximo de la función G(x,y)=−15x+52yG(x, y) = - \frac{1}{5}x + \frac{5}{2}y en la citada región factible? ¿Cuál es su valor?c) Responda de forma razonada si la función G(x,y)=−15x+52yG(x, y) = - \frac{1}{5}x + \frac{5}{2}y puede alcanzar el valor 473\frac{47}{3} en la región factible hallada.
InecuacionesRegión factibleOptimización

Para representar la región factible, primero transformamos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que delimitan el recinto:

r1:5x−4y=−19r2:3x−4y=−13r3:x=−7r4:x+y=−2r_1: 5x - 4y = -19 \quad r_2: 3x - 4y = -13 \quad r_3: x = -7 \quad r_4: x + y = -2
a) Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices.

Determinamos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se intersectan dentro de las restricciones:Vértice AA: Intersección de x=−7x = -7 y 3x−4y=−133x - 4y = -13.

3(−7)−4y=−13  ⟹  −21−4y=−13  ⟹  −4y=8  ⟹  y=−2  ⟹  A(−7,−2)3(-7) - 4y = -13 \implies -21 - 4y = -13 \implies -4y = 8 \implies y = -2 \implies A(-7, -2)

Vértice BB: Intersección de x=−7x = -7 y x+y=−2x + y = -2.

−7+y=−2  ⟹  y=5  ⟹  B(−7,5)-7 + y = -2 \implies y = 5 \implies B(-7, 5)

Vértice CC: Intersección de 3x−4y=−133x - 4y = -13 y x+y=−2x + y = -2 (esta intersección también satisface 5x−4y=−195x - 4y = -19).

{3x−4y=−13y=−x−2  ⟹  3x−4(−x−2)=−13  ⟹  7x=−21  ⟹  x=−3,y=1  ⟹  C(−3,1)\begin{cases} 3x - 4y = -13 \\ y = -x - 2 \end{cases} \implies 3x - 4(-x - 2) = -13 \implies 7x = -21 \implies x = -3, y = 1 \implies C(-3, 1)

La región factible es el triángulo formado por los puntos A(−7,−2)A(-7, -2), B(−7,5)B(-7, 5) y C(−3,1)C(-3, 1).

b) ¿Cuáles son los puntos en los que se alcanzan el mínimo y el máximo de la función G(x,y)=−15x+rac52yG(x, y) = - \frac{1}{5}x + rac{5}{2}y en la citada región factible? ¿Cuál es su valor?

Evaluamos la función objetivo G(x,y)G(x, y) en cada uno de los vértices hallados:En A(−7,−2)A(-7, -2): G(−7,−2)=−15(−7)+52(−2)=75−5=7−255=−185=−3,6G(-7, -2) = -\frac{1}{5}(-7) + \frac{5}{2}(-2) = \frac{7}{5} - 5 = \frac{7 - 25}{5} = -\frac{18}{5} = -3,6.En B(−7,5)B(-7, 5): G(−7,5)=−15(−7)+52(5)=75+252=14+12510=13910=13,9G(-7, 5) = -\frac{1}{5}(-7) + \frac{5}{2}(5) = \frac{7}{5} + \frac{25}{2} = \frac{14 + 125}{10} = \frac{139}{10} = 13,9.En C(−3,1)C(-3, 1): G(−3,1)=−15(−3)+52(1)=35+52=6+2510=3110=3,1G(-3, 1) = -\frac{1}{5}(-3) + \frac{5}{2}(1) = \frac{3}{5} + \frac{5}{2} = \frac{6 + 25}{10} = \frac{31}{10} = 3,1.El valor máximo de la función es 13,913,9 y se alcanza en el punto B(−7,5)B(-7, 5). El valor mínimo es −3,6-3,6 y se alcanza en el punto A(−7,−2)A(-7, -2).

5x-4y≤-193x-4y≤-13x≥-7x+y≤-2A(-7, -2)B(-7, 5)C(-3, 1)Máx: z = 13.90246810246xyG(x, y) = -0.2x + 2.5y
c) Responda de forma razonada si la función G(x,y)=−15x+52yG(x, y) = - \frac{1}{5}x + \frac{5}{2}y puede alcanzar el valor 473\frac{47}{3} en la región factible hallada.

Para saber si puede alcanzar ese valor, comparamos 473\frac{47}{3} con los valores máximo y mínimo de la función en la región. Calculamos el valor decimal:

473≈15,67\frac{47}{3} \approx 15,67

Dado que el valor máximo que alcanza la función G(x,y)G(x, y) en la región factible es 13,913,9 y 15,67>13,915,67 > 13,9, la función no puede alcanzar el valor 473\frac{47}{3} en dicha región.