T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Problemas de sistemas

Problema

2021 · Ordinaria · Titular

En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima 10 kg de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos, para cada garrafa 100 gramos y 1 kg para cada bidón. El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total 52 productos cada hora. ¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?

Planteamiento de sistemasResolución de problemas

Resolución del ejercicio

Definimos las variables para el número de productos fabricados cada hora:Sea $x$ el número de botellas.Sea $y$ el número de garrafas.Sea $z$ el número de bidones.A partir de la información proporcionada, establecemos las ecuaciones:1. Consumo de materia prima: Se utilizan $10 \text{ kg}$ de polietileno cada hora. Las cantidades por producto son $50 \text{ gramos}$ ( $0,05 \text{ kg}$ ) para cada botella, $100 \text{ gramos}$ ( $0,1 \text{ kg}$ ) para cada garrafa y $1 \text{ kg}$ para cada bidón.

0,05x + 0,1y + 1z = 10

2. Relación entre botellas y garrafas: Se produce el doble de botellas que de garrafas.

x = 2y

Esta ecuación puede reordenarse como:

x - 2y = 0

3. Total de productos: En total se producen $52$ productos cada hora.

x + y + z = 52

Con estas tres ecuaciones, formamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\begin{cases} 0,05x + 0,1y + z = 10 \quad \text{(1)} \\ x - 2y = 0 \quad \text{(2)} \\ x + y + z = 52 \quad \text{(3)} \end{cases}

Resolvemos el sistema utilizando el método de sustitución.De la ecuación (2), despejamos $x$ : $x = 2y$ .Sustituimos esta expresión de $x$ en las ecuaciones (1) y (3).Sustituyendo en la ecuación (1):

0,05(2y) + 0,1y + z = 10

0,1y + 0,1y + z = 10

0,2y + z = 10 \quad \text{(4)}

Sustituyendo en la ecuación (3):

2y + y + z = 52

3y + z = 52 \quad \text{(5)}

Ahora tenemos un sistema reducido de dos ecuaciones con dos incógnitas ( $y$ y $z$ ):

\begin{cases} 0,2y + z = 10 \quad \text{(4)} \\ 3y + z = 52 \quad \text{(5)} \end{cases}

Restamos la ecuación (4) de la ecuación (5) para eliminar $z$ :

(3y + z) - (0,2y + z) = 52 - 10

2,8y = 42

y = \frac{42}{2,8}

y = 15

Sustituimos el valor de $y$ en la ecuación (4) para encontrar $z$ :

0,2(15) + z = 10

3 + z = 10

z = 10 - 3

z = 7

Finalmente, sustituimos el valor de $y$ en la expresión $x = 2y$ para encontrar $x$ :

x = 2(15)

x = 30

Por lo tanto, se producen $30$ botellas, $15$ garrafas y $7$ bidones cada hora.