T3: Vibraciones y ondas · Ondas mecánicas — FISICA PEvAU Andalucía 2017

Ondas mecánicas

Problema

2017 · Ordinaria · Reserva

3A-b

b) Obtenga la ecuación de una onda transversal de periodo

0,2 \text{ s}

que se propaga por una cuerda, en el sentido positivo del eje X, con una velocidad de

40 \text{ cm} \cdot \text{s}^{-1}

. La velocidad máxima de los puntos de la cuerda es

0,5\pi \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

y, en el instante inicial, la elongación en el origen

(x = 0)

es máxima. ¿Cuánto vale la velocidad de un punto situado a

10 \text{ cm}

del origen cuando han transcurrido

15 \text{ s}

desde que se generó la onda?

Ecuación de ondaVelocidad de vibraciónPeriodo+1

b) Determinación de la ecuación de la onda y velocidad de un punto

Datos del problema

Periodo: $T = 0{,}2 \text{ s}$ , velocidad de propagación: $v = 40 \text{ cm/s} = 0{,}4 \text{ m/s}$ , velocidad máxima de los puntos: $v_{max} = 0{,}5\pi \text{ m/s}$ , en $t = 0$ y $x = 0$ la elongación es máxima.

Paso 1: Parámetros de la onda

Frecuencia angular $\omega$ :

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}2} = 10\pi \text{ rad/s}

Longitud de onda $\lambda$ :

\lambda = v \cdot T = 0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08 \text{ m} = 8 \text{ cm}

Número de onda $k$ :

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}08} = 25\pi \text{ rad/m}

Paso 2: Amplitud de la onda

La velocidad de vibración de un punto de la cuerda es la derivada temporal de la elongación. Para una onda $y = A\cos(\omega t - kx)$ , la velocidad de vibración es $v_y = -A\omega\sin(\omega t - kx)$ , cuyo valor máximo es:

v_{max} = A \cdot \omega \implies A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{0{,}5\pi}{10\pi} = 0{,}05 \text{ m} = 5 \text{ cm}

Paso 3: Ecuación de la onda

Como la onda se propaga en el sentido positivo de X y en $t = 0$ , $x = 0$ la elongación es máxima (equivale a una fase inicial de $0$ ), la ecuación adopta la forma coseno:

y(x,t) = A\cos(\omega t - kx)

Sustituyendo los valores:

\boxed{y(x,t) = 0{,}05\cos(10\pi t - 25\pi x) \text{ m}}

donde $x$ está en metros y $t$ en segundos.

Paso 4: Velocidad de vibración del punto $x = 10 \text{ cm}$ en $t = 15 \text{ s}$

La velocidad de vibración de un punto se obtiene derivando $y$ respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\sin(\omega t - kx)

Sustituyendo $x = 0{,}10 \text{ m}$ y $t = 15 \text{ s}$ :

\omega t - kx = 10\pi \cdot 15 - 25\pi \cdot 0{,}10 = 150\pi - 2{,}5\pi = 147{,}5\pi

Reduciendo el argumento: $147{,}5\pi = 73 \cdot 2\pi + 1{,}5\pi$ , por lo que el ángulo equivalente es $1{,}5\pi$ (es decir, $\frac{3\pi}{2}$ ).

\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1

v_y = -A\omega \cdot (-1) = A\omega = 0{,}05 \cdot 10\pi = 0{,}5\pi \approx 1{,}57 \text{ m/s}

La velocidad de vibración del punto situado a $10 \text{ cm}$ del origen en el instante $t = 15 \text{ s}$ es:

\boxed{v_y = 0{,}5\pi \approx 1{,}57 \text{ m/s}}

Este valor coincide con la velocidad máxima de vibración, lo que indica que en ese instante el punto pasa por la posición de equilibrio.