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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Problema
2016 · Ordinaria · Titular
3B-a
Examen

Una espira circular de 2,5 cm2,5 \text{ cm} de radio, que descansa en el plano XYXY, está situada en una región en la que existe un campo magnético B⃗=2,5t2k⃗ T\vec{B} = 2,5 t^2 \vec{k} \text{ T} donde tt es el tiempo expresado en segundos.

a) Determine el valor del flujo magnético en función del tiempo y realice una representación gráfica de dicho flujo magnético frente al tiempo entre 00 y 10 s10 \text{ s}.
Flujo magnéticoEspira circularGráfica
a) Determinación del flujo magnético en función del tiempo

El flujo magnético a través de la espira se calcula mediante:

Φ=∫B⃗⋅dA⃗=B⋅A⋅cos⁡θ\Phi = \int \vec{B} \cdot d\vec{A} = B \cdot A \cdot \cos\theta

La espira descansa en el plano XYXY, por lo que el vector área es A⃗=A k⃗\vec{A} = A\,\vec{k}, paralelo al campo magnético B⃗=2,5 t2 k⃗\vec{B} = 2{,}5\,t^2\,\vec{k} T. Por tanto, el ángulo entre B⃗\vec{B} y A⃗\vec{A} es θ=0°\theta = 0°, y cos⁡0°=1\cos 0° = 1.El área de la espira circular de radio r=2,5 cm=0,025 mr = 2{,}5 \text{ cm} = 0{,}025 \text{ m} es:

A=πr2=π⋅(0,025)2=π⋅6,25×10−4≈1,963×10−3 m2A = \pi r^2 = \pi \cdot (0{,}025)^2 = \pi \cdot 6{,}25 \times 10^{-4} \approx 1{,}963 \times 10^{-3} \text{ m}^2

Sustituyendo el campo B=2,5 t2B = 2{,}5\,t^2 T y el área calculada:

Φ(t)=B(t)⋅A=2,5 t2⋅π⋅(0,025)2\Phi(t) = B(t) \cdot A = 2{,}5\,t^2 \cdot \pi \cdot (0{,}025)^2
Φ(t)=2,5×π×6,25×10−4⋅t2\Phi(t) = 2{,}5 \times \pi \times 6{,}25 \times 10^{-4} \cdot t^2
Φ(t)=2,5×1,963×10−3⋅t2\Phi(t) = 2{,}5 \times 1{,}963 \times 10^{-3} \cdot t^2
Φ(t)≈4,91×10−3 t2 Wb\boxed{\Phi(t) \approx 4{,}91 \times 10^{-3}\,t^2 \text{ Wb}}

El flujo magnético varía de forma cuadrática (parábola) con el tiempo. Algunos valores representativos entre t=0t = 0 s y t=10t = 10 s son:

Tabla de valores de Φ(t)≈4,91×10−3 t2\Phi(t) \approx 4{,}91 \times 10^{-3}\,t^2 Wb:

t=0t = 0 s ⇒\Rightarrow Φ=0\Phi = 0 Wb t=2t = 2 s ⇒\Rightarrow Φ=4,91×10−3×4≈1,96×10−2\Phi = 4{,}91 \times 10^{-3} \times 4 \approx 1{,}96 \times 10^{-2} Wb t=4t = 4 s ⇒\Rightarrow Φ=4,91×10−3×16≈7,85×10−2\Phi = 4{,}91 \times 10^{-3} \times 16 \approx 7{,}85 \times 10^{-2} Wb t=6t = 6 s ⇒\Rightarrow Φ=4,91×10−3×36≈1,77×10−1\Phi = 4{,}91 \times 10^{-3} \times 36 \approx 1{,}77 \times 10^{-1} Wb t=8t = 8 s ⇒\Rightarrow Φ=4,91×10−3×64≈3,14×10−1\Phi = 4{,}91 \times 10^{-3} \times 64 \approx 3{,}14 \times 10^{-1} Wb t=10t = 10 s ⇒\Rightarrow Φ=4,91×10−3×100≈4,91×10−1\Phi = 4{,}91 \times 10^{-3} \times 100 \approx 4{,}91 \times 10^{-1} Wb La representación gráfica de Φ\Phi frente a tt es una parábola de concavidad positiva que pasa por el origen, creciendo desde Φ(0)=0\Phi(0) = 0 Wb hasta Φ(10)≈0,491\Phi(10) \approx 0{,}491 Wb, conforme a la función Φ(t)=4,91×10−3 t2\Phi(t) = 4{,}91 \times 10^{-3}\,t^2 Wb.