AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T1: Interacción gravitatoria
Campo y potencial gravitatorio
Problema
2022 · Ordinaria · Reserva
A1-b
Examen
b) Una partícula de masa mm desconocida se encuentra en el origen de coordenadas. Sabiendo que la componente xx del campo gravitatorio en el punto A(2,2) mA(2, 2) \text{ m} creada por dicha masa es −1,18⋅10−11 N⋅kg−1-1,18 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}, determine: i) el valor de la masa mm; ii) el trabajo que realiza el campo gravitatorio para llevar una partícula de masa M=5 kgM = 5 \text{ kg} desde el punto B(4,0) mB(4, 0) \text{ m} al punto A(2,2) mA(2, 2) \text{ m}.

Datos: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Interacción gravitatoriaCampo gravitatorioTrabajo
b) i) Cálculo del valor de la masa mm.

La masa mm se encuentra en el origen de coordenadas (0,0)(0,0). El punto AA está en (2,2) m(2,2) \text{ m}. El vector de posición desde la masa mm hasta el punto AA es r⃗A=(2i^+2j^) m\vec{r}_A = (2\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ m}.La distancia rAr_A desde la masa al punto AA es:

rA=∣r⃗A∣=(2 m)2+(2 m)2=4+4=8=22 mr_A = |\vec{r}_A| = \sqrt{(2\text{ m})^2 + (2\text{ m})^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m}

El campo gravitatorio g⃗\vec{g} creado por una masa puntual mm en el origen de coordenadas en un punto r⃗\vec{r} viene dado por la expresión:

g⃗=−Gmr3r⃗\vec{g} = -G \frac{m}{r^3} \vec{r}

En el punto AA, el campo gravitatorio es:

g⃗A=−Gm(rA)3r⃗A\vec{g}_A = -G \frac{m}{(r_A)^3} \vec{r}_A

Sustituyendo los valores, tenemos:

g⃗A=−Gm(22)3(2i^+2j^)=−Gm162(2i^+2j^)=−Gm82(i^+j^)\vec{g}_A = -G \frac{m}{(2\sqrt{2})^3} (2\hat{i} + 2\hat{j}) = -G \frac{m}{16\sqrt{2}} (2\hat{i} + 2\hat{j}) = -G \frac{m}{8\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j})

La componente xx del campo gravitatorio en el punto AA es:

gAx=−Gm82g_{Ax} = -G \frac{m}{8\sqrt{2}}

Se nos da que gAx=−1.18⋅10−11 N⋅kg−1g_{Ax} = -1.18 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}. Igualando esta expresión a la anterior, podemos despejar mm:

−1.18⋅10−11 N⋅kg−1=−Gm82-1.18 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1} = -G \frac{m}{8\sqrt{2}}
m=1.18⋅10−11⋅82Gm = \frac{1.18 \cdot 10^{-11} \cdot 8\sqrt{2}}{G}

Sustituyendo el valor de la constante de gravitación universal G=6.67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}:

m=1.18⋅10−11 N⋅kg−1⋅82 m6.67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2=1.18⋅826.67 kgm = \frac{1.18 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot 8\sqrt{2} \text{ m}}{6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}} = \frac{1.18 \cdot 8\sqrt{2}}{6.67} \text{ kg}
m≈1.18⋅8⋅1.41426.67 kg≈13.34866.67 kg≈2.0019 kgm \approx \frac{1.18 \cdot 8 \cdot 1.4142}{6.67} \text{ kg} \approx \frac{13.3486}{6.67} \text{ kg} \approx 2.0019 \text{ kg}
m≈2.00 kgm \approx 2.00 \text{ kg}
b) ii) Cálculo del trabajo realizado por el campo gravitatorio para llevar una partícula de masa M=5 kgM = 5 \text{ kg} desde el punto B(4,0) mB(4, 0) \text{ m} al punto A(2,2) mA(2, 2) \text{ m}.

El trabajo realizado por un campo gravitatorio (conservativo) es igual a menos la variación de la energía potencial gravitatoria, o lo que es lo mismo, el producto de la masa por la diferencia de potencial gravitatorio entre los puntos inicial y final:

WBA=−ΔEp=−(EpA−EpB)=EpB−EpAW_{BA} = -\Delta E_p = -(E_{pA} - E_{pB}) = E_{pB} - E_{pA}
WBA=M(VB−VA)W_{BA} = M(V_B - V_A)

El potencial gravitatorio VV creado por una masa puntual mm a una distancia rr es:

V=−GmrV = -G \frac{m}{r}

Primero, calculamos las distancias de los puntos AA y BB al origen (donde se encuentra la masa mm):Distancia al punto A(2,2) mA(2, 2) \text{ m}:

rA=22 mr_A = 2\sqrt{2} \text{ m}

Distancia al punto B(4,0) mB(4, 0) \text{ m}:

rB=(4 m)2+(0 m)2=16=4 mr_B = \sqrt{(4\text{ m})^2 + (0\text{ m})^2} = \sqrt{16} = 4 \text{ m}

Ahora calculamos los potenciales gravitatorios en AA y BB:

VA=−GmrA=−Gm22V_A = -G \frac{m}{r_A} = -G \frac{m}{2\sqrt{2}}
VB=−GmrB=−Gm4V_B = -G \frac{m}{r_B} = -G \frac{m}{4}

Sustituimos estos potenciales en la fórmula del trabajo:

WBA=M(−Gm4−(−Gm22))=MGm(122−14)W_{BA} = M \left( -G \frac{m}{4} - \left(-G \frac{m}{2\sqrt{2}}\right) \right) = M G m \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{4} \right)

Podemos simplificar la expresión entre paréntesis:

122−14=24−14=2−14\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}-1}{4}

Entonces, el trabajo es:

WBA=MGm2−14W_{BA} = M G m \frac{\sqrt{2}-1}{4}

Sustituyendo los valores numéricos M=5 kgM = 5 \text{ kg}, G=6.67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} y m≈2.0019 kgm \approx 2.0019 \text{ kg}:

WBA=(5 kg)(6.67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)(2.0019 kg)2−14W_{BA} = (5 \text{ kg}) (6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (2.0019 \text{ kg}) \frac{\sqrt{2}-1}{4}
WBA≈(5⋅6.67⋅10−11⋅2.0019)1.4142−14 JW_{BA} \approx (5 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 2.0019) \frac{1.4142 - 1}{4} \text{ J}
WBA≈(66.72⋅10−11)0.41424 JW_{BA} \approx (66.72 \cdot 10^{-11}) \frac{0.4142}{4} \text{ J}
WBA≈(66.72⋅10−11)⋅0.10355 JW_{BA} \approx (66.72 \cdot 10^{-11}) \cdot 0.10355 \text{ J}
WBA≈6.903⋅10−11 JW_{BA} \approx 6.903 \cdot 10^{-11} \text{ J}