El vector normal del plano, $\vec{n}$, es el vector director del segmento $PQ$ o cualquier otro vector proporcional a este. Calculamos el vector $\vec{PQ}$:

Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre $2$, obteniendo $\vec{n} = (1, -1, 0)$. A continuación, calculamos el punto medio $M$ del segmento $PQ$:

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Utilizando el vector normal $\vec{n} = (1, -1, 0)$, tenemos $x - y + D = 0$. Imponemos que el plano pase por el punto $M(2, -1, 1)$ para hallar $D$:

Por tanto, la ecuación del plano perpendicular al segmento $PQ$ que pasa por su punto medio es:

Para determinar el plano, necesitamos un punto (por ejemplo, $P$) y dos vectores directores. Estos vectores son el vector $\vec{PQ}$ y el vector director de la recta $r$, $\vec{v}_r$, ya que el plano debe ser paralelo a dicha recta.Primero obtenemos el vector director de la recta $r$ reescribiendo su ecuación en forma continua estándar $\frac{x - x_0}{u_1} = \frac{y - y_0}{u_2} = \frac{z - z_0}{u_3}$:

Calculamos el vector $\vec{PQ}$ que también está contenido en el plano:

El vector normal del plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{v}_r$ y $\vec{PQ}$:

Podemos simplificar el vector normal tomando $\vec{n} = (1, 1, -2)$. La ecuación del plano será $x + y - 2z + D = 0$. Substituimos las coordenadas del punto $P(1, 0, 1)$:

La ecuación del plano buscado es: