T1: Interacción gravitatoria

Trabajo y energía

Problema

2022 · Ordinaria · Suplente

A2-b

b) Un cuerpo de masa

5 \text{ kg}

se encuentra inicialmente en reposo en la parte superior de una rampa sin rozamiento que forma un ángulo de

45^\circ

con la horizontal. El cuerpo desciende por la rampa recorriendo una distancia de

10 \text{ m}

, y cuando llega al final de la misma recorre

20 \text{ m}

sobre una superficie horizontal rugosa hasta que se detiene. Determine, utilizando consideraciones energéticas: i) la velocidad con la que llega el cuerpo al final de la rampa; ii) el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie horizontal.

Dato: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

Energía mecánicaFuerza de rozamientoTeorema del trabajo y la energía

b) i) Determinamos la velocidad con la que llega el cuerpo al final de la rampa.

Consideramos el movimiento del cuerpo a lo largo de la rampa. Dado que la rampa no tiene rozamiento, la energía mecánica del cuerpo se conserva. Tomamos el nivel del final de la rampa como referencia para la energía potencial gravitatoria ( $h=0$ ). La altura inicial del cuerpo respecto a este nivel es $h_0 = d_1 \sin(\alpha)$ .

Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica:

E_{m, inicial} = E_{m, final}

E_{p, inicial} + E_{k, inicial} = E_{p, final} + E_{k, final}

Donde:

E_{p, inicial} = mgh_0 = mgd_1 \sin(\alpha)

E_{k, inicial} = \frac{1}{2}mv_0^2

E_{p, final} = 0

E_{k, final} = \frac{1}{2}mv_1^2

El cuerpo parte del reposo, por lo que $v_0 = 0 \text{ m/s}$ . Sustituyendo en la ecuación de conservación de la energía:

mgd_1 \sin(\alpha) + 0 = 0 + \frac{1}{2}mv_1^2

Simplificamos la masa $m$ y despejamos $v_1$ :

gd_1 \sin(\alpha) = \frac{1}{2}v_1^2

v_1 = \sqrt{2gd_1 \sin(\alpha)}

Sustituimos los valores dados: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$ , $d_1 = 10 \text{ m}$ y $\alpha = 45^\circ$ .

v_1 = \sqrt{2 \cdot (9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}) \cdot (10 \text{ m}) \cdot \sin(45^\circ)}

v_1 = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \text{ m/s}

v_1 = \sqrt{98\sqrt{2}} \text{ m/s}

v_1 \approx 11,76 \text{ m/s}

b) ii) Determinamos el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie horizontal.

Una vez que el cuerpo llega al final de la rampa con velocidad $v_1$ , se mueve sobre una superficie horizontal rugosa hasta que se detiene. En este tramo, la fuerza de rozamiento realiza un trabajo negativo, disipando la energía mecánica del cuerpo. Aplicamos el teorema de las fuerzas vivas (Teorema de la Energía Cinética) o el principio de conservación de la energía con trabajo de fuerzas no conservativas.

W_{nc} = \Delta E_m

W_{fr} = (E_{p, final} + E_{k, final}) - (E_{p, inicial} + E_{k, inicial})

En la superficie horizontal, la altura no cambia, por lo que $\Delta E_p = 0$ . La energía potencial gravitatoria es constante y podemos considerarla cero. El cuerpo se detiene, por lo que la velocidad final es $v_2 = 0 \text{ m/s}$ .

W_{fr} = E_{k, final} - E_{k, inicial}

W_{fr} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2

W_{fr} = 0 - \frac{1}{2}mv_1^2 = -\frac{1}{2}mv_1^2

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es $W_{fr} = -F_{fr}d_2$ , donde $F_{fr} = \mu N$ . En una superficie horizontal, la fuerza normal $N$ es igual al peso $mg$ .

F_{fr} = \mu mg

W_{fr} = -\mu mgd_2

Igualamos las dos expresiones para el trabajo de rozamiento:

-\mu mgd_2 = -\frac{1}{2}mv_1^2

Simplificamos la masa $m$ y despejamos el coeficiente de rozamiento $\mu$ :

\mu gd_2 = \frac{1}{2}v_1^2

\mu = \frac{v_1^2}{2gd_2}

Sustituimos los valores: $v_1^2 = 98\sqrt{2} \text{ m}^2/\text{s}^2$ (valor exacto de $v_1^2$ ), $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$ y $d_2 = 20 \text{ m}$ .

\mu = \frac{98\sqrt{2} \text{ m}^2/\text{s}^2}{2 \cdot (9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}) \cdot (20 \text{ m})}

\mu = \frac{98\sqrt{2}}{392}

\mu = \frac{\sqrt{2}}{4}

\mu \approx 0,35