T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Problema

2018 · Ordinaria · Suplente

1B-b

b) Un satélite de masa

2 \cdot 10^3 \text{ kg}

describe una órbita circular de

5500 \text{ km}

en torno a la Tierra. Calcule: (i) La velocidad orbital; (ii) la velocidad con que llegaría a la superficie terrestre si se dejara caer desde esa altura con velocidad inicial nula.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; R_T = 6370 \text{ km}$

Energía mecánicaVelocidad de impacto

Satélite en órbita circular

El radio orbital es la suma del radio terrestre más la altitud del satélite:

r = R_T + h = 6370 \text{ km} + 5500 \text{ km} = 11870 \text{ km} = 1{,}187 \cdot 10^7 \text{ m}

(i) Velocidad orbital

Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta:

\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \implies v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}

Sustituyendo valores:

v = \sqrt{\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 5{,}98 \cdot 10^{24}}{1{,}187 \cdot 10^7}}

v = \sqrt{\frac{3{,}989 \cdot 10^{14}}{1{,}187 \cdot 10^7}} = \sqrt{3{,}361 \cdot 10^7}

\boxed{v \approx 5797 \text{ m/s} \approx 5{,}80 \text{ km/s}}

(ii) Velocidad al llegar a la superficie terrestre (caída libre desde h = 5500 km)

Se aplica conservación de la energía mecánica entre la posición inicial (a distancia $r$ del centro, con velocidad inicial nula) y la superficie terrestre (a distancia $R_T$ ):

E_i = E_f \implies -\frac{G M_T m}{r} + 0 = -\frac{G M_T m}{R_T} + \frac{1}{2}m v_f^2

Despejando $v_f$ :

v_f = \sqrt{2 G M_T \left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r}\right)}

Calculando los términos entre paréntesis:

\frac{1}{R_T} = \frac{1}{6{,}370 \cdot 10^6} = 1{,}570 \cdot 10^{-7} \text{ m}^{-1}

\frac{1}{r} = \frac{1}{1{,}187 \cdot 10^7} = 8{,}425 \cdot 10^{-8} \text{ m}^{-1}

\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r} = 1{,}570 \cdot 10^{-7} - 8{,}425 \cdot 10^{-8} = 7{,}275 \cdot 10^{-8} \text{ m}^{-1}

Sustituyendo:

v_f = \sqrt{2 \times 6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 5{,}98 \cdot 10^{24} \times 7{,}275 \cdot 10^{-8}}

v_f = \sqrt{2 \times 3{,}989 \cdot 10^{14} \times 7{,}275 \cdot 10^{-8}} = \sqrt{5{,}804 \cdot 10^7}

\boxed{v_f \approx 7618 \text{ m/s} \approx 7{,}62 \text{ km/s}}