La función dada es $f(x) = e^x$. Su derivada es $f'(x) = e^x$.La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en un punto $(a, f(a))$ se obtiene con la fórmula $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.Sustituyendo $f(a) = e^a$ y $f'(a) = e^a$, la ecuación de la recta tangente es:

Para que esta recta pase por el origen de coordenadas $(0,0)$, sustituimos $x=0$ e $y=0$ en la ecuación de la tangente:

Dividimos ambos lados por $e^a$, que siempre es positivo y distinto de cero:

Por lo tanto, el valor de $a$ para que la recta tangente pase por el origen es $1$.

Primero, calculamos la ecuación de la recta tangente a $f(x) = e^x$ en el punto $(1, f(1))$. El punto de tangencia es $(1, e^1) = (1, e)$.La pendiente de la recta tangente en $x=1$ es $f'(1) = e^1 = e$.La ecuación de la recta tangente es:

El recinto está limitado por la gráfica $y = e^x$, la recta tangente $y = ex$ y el eje de ordenadas ($x=0$). El punto de tangencia es $x=1$.En el intervalo $[0, 1]$, la función $f(x) = e^x$ está por encima de su recta tangente $y = ex$ (debido a la convexidad de la función exponencial). Por lo tanto, el área se calcula como la integral de la diferencia $e^x - ex$ desde $x=0$ hasta $x=1$.

Calculamos la integral indefinida:

Ahora evaluamos la integral definida utilizando la Regla de Barrow:

El área del recinto limitado es $\frac{e}{2} - 1$ unidades cuadradas.