T2: Interacción electromagnética

Potencial y energía eléctrica

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

B1-b

b) Dos partículas idénticas con carga

q = + 5 \cdot 10^{-6} \text{ C}

están fijas en los puntos

(0,-3) \text{ m}

(0,3) \text{ m}

del plano

XY

. Si, manteniendo fijas las dos partículas, se suelta una tercera partícula con carga

Q = - 2 \cdot 10^{-8} \text{ C}

y masa

m = 8 \cdot 10^{-6} \text{ kg}

en el punto

(4,0) \text{ m}

, calcule el módulo de la velocidad con la que llega al punto

(0,0)

Dato: $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$

Conservación de la energíaCargas puntualesPotencial eléctrico

b) Para calcular el módulo de la velocidad con la que la tercera partícula llega al punto

(0,0)

, aplicaremos el principio de conservación de la energía mecánica. Dado que no hay fuerzas no conservativas (como el rozamiento) y las únicas fuerzas son las electrostáticas (conservativas), la energía mecánica total se mantiene constante.

E_{m,inicial} = E_{m,final}

E_{c,inicial} + E_{p,inicial} = E_{c,final} + E_{p,final}

La partícula $Q$ se suelta en el punto $(4,0) \text{ m}$ , por lo que su velocidad inicial es nula y, consecuentemente, su energía cinética inicial también es nula ( $E_{c,inicial} = 0$ ). Necesitamos calcular la energía potencial electrostática de la partícula $Q$ en la posición inicial $(4,0)$ y en la posición final $(0,0)$ . La energía potencial electrostática de una carga $Q$ en un punto es $E_p = Q \cdot V$ , donde $V$ es el potencial eléctrico en ese punto. El potencial eléctrico creado por un conjunto de cargas puntuales es la suma algebraica de los potenciales creados por cada carga.Las cargas fijas son $q_1 = q_2 = q = +5 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ situadas en $P_1=(0,-3)\text{ m}$ y $P_2=(0,3)\text{ m}$ .Carga móvil $Q = -2 \cdot 10^{-8} \text{ C}$ y masa $m = 8 \cdot 10^{-6} \text{ kg}$ .

1. Cálculo de la energía potencial inicial ($E_{p,inicial}$) en $(4,0) \text{ m}$

Primero, calculamos las distancias de la posición inicial $(4,0)$ a las cargas $q_1$ y $q_2$ .

r_{1,inicial} = \sqrt{(4-0)^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}

r_{2,inicial} = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}

El potencial eléctrico en el punto inicial $(4,0)$ es la suma de los potenciales creados por $q_1$ y $q_2$ :

V_{inicial} = K \frac{q_1}{r_{1,inicial}} + K \frac{q_2}{r_{2,inicial}} = 2 K \frac{q}{r_{inicial}}

V_{inicial} = 2 \cdot (9 \cdot 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}) \cdot \frac{5 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{5 \text{ m}} = 18 \cdot 10^3 \text{ V}

La energía potencial inicial de la carga $Q$ es:

E_{p,inicial} = Q \cdot V_{inicial} = (-2 \cdot 10^{-8} \text{ C}) \cdot (18 \cdot 10^3 \text{ V}) = -3.6 \cdot 10^{-4} \text{ J}

2. Cálculo de la energía potencial final ($E_{p,final}$) en $(0,0) \text{ m}$

Primero, calculamos las distancias de la posición final $(0,0)$ a las cargas $q_1$ y $q_2$ .

r_{1,final} = \sqrt{(0-0)^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 \text{ m}

r_{2,final} = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \text{ m}

El potencial eléctrico en el punto final $(0,0)$ es la suma de los potenciales creados por $q_1$ y $q_2$ :

V_{final} = K \frac{q_1}{r_{1,final}} + K \frac{q_2}{r_{2,final}} = 2 K \frac{q}{r_{final}}

V_{final} = 2 \cdot (9 \cdot 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}) \cdot \frac{5 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{3 \text{ m}} = 30 \cdot 10^3 \text{ V}

La energía potencial final de la carga $Q$ es:

E_{p,final} = Q \cdot V_{final} = (-2 \cdot 10^{-8} \text{ C}) \cdot (30 \cdot 10^3 \text{ V}) = -6.0 \cdot 10^{-4} \text{ J}

3. Aplicación de la conservación de la energía mecánica

Como la energía cinética inicial es cero ( $E_{c,inicial} = 0$ ), la ecuación de conservación de la energía se convierte en:

0 + E_{p,inicial} = \frac{1}{2} m v^2 + E_{p,final}

\frac{1}{2} m v^2 = E_{p,inicial} - E_{p,final}

\frac{1}{2} (8 \cdot 10^{-6} \text{ kg}) v^2 = (-3.6 \cdot 10^{-4} \text{ J}) - (-6.0 \cdot 10^{-4} \text{ J})

(4 \cdot 10^{-6} \text{ kg}) v^2 = (6.0 - 3.6) \cdot 10^{-4} \text{ J}

(4 \cdot 10^{-6} \text{ kg}) v^2 = 2.4 \cdot 10^{-4} \text{ J}

v^2 = \frac{2.4 \cdot 10^{-4} \text{ J}}{4 \cdot 10^{-6} \text{ kg}}

v^2 = 0.6 \cdot 10^2 \text{ m}^2 \text{ s}^{-2}

v^2 = 60 \text{ m}^2 \text{ s}^{-2}

v = \sqrt{60} \text{ m/s} \approx 7.75 \text{ m/s}