T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andalucía 2021

Radiactividad

Problema

2021 · Extraordinaria · Reserva

D.1-b

Sabiendo que la actividad de un determinado isótopo radiactivo decae a la sexta parte cuando transcurre un tiempo de $8 \text{ horas}$ . Determine:

i) Su constante de desintegración.ii) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad se reduzca a la décima parte de la inicial.

actividad radiactivadesintegraciónconstante radiactiva

La ley de desintegración radiactiva relaciona la actividad inicial $A_0$ con la actividad en un instante $t$ , $A$ , mediante la expresión:

A = A_0 e^{-\lambda t}

donde $\lambda$ es la constante de desintegración.

i) Su constante de desintegración.

Se nos indica que la actividad decae a la sexta parte ( $A = A_0/6$ ) cuando transcurren $t = 8 \text{ horas}$ . Sustituimos estos valores en la ley de desintegración:

\frac{A_0}{6} = A_0 e^{-\lambda (8 \text{ h})}

Simplificando $A_0$ en ambos lados y tomando el logaritmo neperiano:

\frac{1}{6} = e^{-8\lambda}

\ln\left(\frac{1}{6}\right) = -8\lambda

-\ln(6) = -8\lambda

Despejamos $\lambda$ :

\lambda = \frac{\ln(6)}{8 \text{ h}}

\lambda = \frac{1.79176}{8 \text{ h}} \approx 0.22397 \text{ h}^{-1}

ii) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad se reduzca a la décima parte de la inicial.

Ahora queremos encontrar el tiempo $t$ para que la actividad se reduzca a la décima parte ( $A = A_0/10$ ). Utilizamos la constante de desintegración calculada en el apartado anterior:

\frac{A_0}{10} = A_0 e^{-\lambda t}

Simplificando $A_0$ y tomando el logaritmo neperiano:

\frac{1}{10} = e^{-\lambda t}

\ln\left(\frac{1}{10}\right) = -\lambda t

-\ln(10) = -\lambda t

Despejamos $t$ :

t = \frac{\ln(10)}{\lambda}

Sustituimos el valor de $\lambda$ :

t = \frac{\ln(10)}{0.22397 \text{ h}^{-1}}

t = \frac{2.30259}{0.22397 \text{ h}^{-1}} \approx 10.281 \text{ h}