AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T4: Óptica
Prismas
Problema
2019 · Extraordinaria · Reserva
3A-b
Examen

Perpendicularmente a la cara AB de un prisma de vidrio con índice de refracción 1,51,5 incide desde el aire un rayo de luz de longitud de onda 6⋅10−7 m6 \cdot 10^{-7} \text{ m}, como se ilustra en la figura.

Imagen del ejercicio
b) Calcule: (i) La longitud de onda y frecuencia del rayo dentro del prisma. ii) El valor más grande que puede tener el ángulo α\alpha para que no se refracte el rayo hacia fuera del prisma por la cara AC.

Datos: c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; naire=1n_{\text{aire}} = 1.

RefracciónÁngulo límiteFrecuencia
b) (i) La longitud de onda y frecuencia del rayo dentro del prisma.

La frecuencia de la luz permanece constante al pasar de un medio a otro. Podemos calcularla utilizando los datos del aire:

f=cλairef = \frac{c}{\lambda_{\text{aire}}}
f=3⋅108 m⋅s−16⋅10−7 m=5⋅1014 Hzf = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{6 \cdot 10^{-7} \text{ m}} = 5 \cdot 10^{14} \text{ Hz}

Para calcular la longitud de onda dentro del vidrio, utilizamos la relación entre el índice de refracción y la longitud de onda:

naireλaire=nvidrioλvidrion_{\text{aire}} \lambda_{\text{aire}} = n_{\text{vidrio}} \lambda_{\text{vidrio}}
λvidrio=naireλairenvidrio\lambda_{\text{vidrio}} = \frac{n_{\text{aire}} \lambda_{\text{aire}}}{n_{\text{vidrio}}}
λvidrio=1⋅6⋅10−7 m1,5=4⋅10−7 m\lambda_{\text{vidrio}} = \frac{1 \cdot 6 \cdot 10^{-7} \text{ m}}{1,5} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ m}
b) (ii) El valor más grande que puede tener el ángulo α\alpha para que no se refracte el rayo hacia fuera del prisma por la cara AC.

Primero, determinamos el ángulo de incidencia en la cara AC. Dado que el rayo incide perpendicularmente a la cara AB, atraviesa el prisma sin desviarse hasta la cara AC. Geométricamente, el ángulo de incidencia θi\theta_i en la cara AC es:

θi=90∘−α\theta_i = 90^\circ - \alpha

Para que el rayo "no se refracte hacia fuera del prisma" por la cara AC, debe producirse una reflexión total interna. Esto ocurre cuando el ángulo de incidencia es mayor o igual que el ángulo crítico θc\theta_c. El ángulo crítico se calcula mediante la Ley de Snell, cuando el ángulo de refracción es 90∘90^\circ:

n_{\text{vidrio}} \sin(\theta_c) = n_{\text{aire}} \sin(90^\circ)
1,5 \cdot \sin(\theta_c) = 1 \cdot 1
\sin(\theta_c) = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3}
θc=arcsin⁡(23)≈41,81∘\theta_c = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \approx 41,81^\circ

Para que no se refracte hacia fuera (es decir, para que haya reflexión total interna), se debe cumplir que θi≥θc\theta_i \ge \theta_c. El valor más grande que puede tener α\alpha para que se cumpla esta condición se dará en el límite, cuando θi=θc\theta_i = \theta_c:

90∘−αmax=θc90^\circ - \alpha_{\text{max}} = \theta_c
αmax=90∘−θc\alpha_{\text{max}} = 90^\circ - \theta_c
αmax=90∘−41,81∘=48,19∘\alpha_{\text{max}} = 90^\circ - 41,81^\circ = 48,19^\circ