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T5: Probabilidad
Probabilidad condicionada
Problema
2020 · Ordinaria · Reserva
5
Examen
EJERCICIO 5

Sean AA y BB dos sucesos de un mismo experimento aleatorio.

a) Si P(A)≠0P(A) \neq 0 y P(B)≠0P(B) \neq 0, ¿pueden ser los sucesos AA y BB independientes e incompatibles a la vez? Justifique la respuesta.b) Sabiendo que P(A)=0.3P(A) = 0.3, P(B)=0.5P(B) = 0.5 y P(A/B)=0.2P(A/B) = 0.2, calcule las siguientes probabilidades: P(A∩B)P(A∪B)P(Ac∪Bc)P(A−B)P(A \cap B) \quad P(A \cup B) \quad P(A^c \cup B^c) \quad P(A - B)
Sucesos independientesSucesos incompatiblesLeyes de De Morgan
a) Si P(A)≠0P(A) \neq 0 y P(B)≠0P(B) \neq 0, ¿pueden ser los sucesos AA y BB independientes e incompatibles a la vez? Justifique la respuesta.

Para que dos sucesos AA y BB sean independientes, se debe cumplir la condición:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Por otro lado, para que dos sucesos sean incompatibles, su intersección debe ser vacía, lo que implica que su probabilidad es nula:

P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0

Si ambos sucesos fueran independientes e incompatibles simultáneamente, se tendría que cumplir que P(A)⋅P(B)=0P(A) \cdot P(B) = 0. Sin embargo, el enunciado indica que P(A)≠0P(A) \neq 0 y P(B)≠0P(B) \neq 0, por lo que su producto no puede ser igual a cero. Por lo tanto, bajo estas condiciones, los sucesos no pueden ser independientes e incompatibles a la vez.

b) Sabiendo que P(A)=0.3P(A) = 0.3, P(B)=0.5P(B) = 0.5 y P(A/B)=0.2P(A/B) = 0.2, calcule las siguientes probabilidades: P(A∩B)P(A∪B)P(Ac∪Bc)P(A−B)P(A \cap B) \quad P(A \cup B) \quad P(A^c \cup B^c) \quad P(A - B)

Calculamos la probabilidad de la intersección utilizando la definición de probabilidad condicionada P(A/B)=P(A∩B)P(B)P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}:

P(A∩B)=P(B)⋅P(A/B)=0.5⋅0.2=0.1P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A/B) = 0.5 \cdot 0.2 = 0.1

Calculamos la probabilidad de la unión de los sucesos mediante la fórmula general:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0.3+0.5−0.1=0.7P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.3 + 0.5 - 0.1 = 0.7

Para calcular P(Ac∪Bc)P(A^c \cup B^c), aplicamos las Leyes de De Morgan, que establecen que Ac∪Bc=(A∩B)cA^c \cup B^c = (A \cap B)^c:

P(A^c \cup B^c) = P((A \cap B)^c) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.1 = 0.9

Finalmente, calculamos la probabilidad de la diferencia P(A−B)P(A - B), que corresponde a la probabilidad de que ocurra AA y no ocurra BB:

P(A−B)=P(A)−P(A∩B)=0.3−0.1=0.2P(A - B) = P(A) - P(A \cap B) = 0.3 - 0.1 = 0.2